Exercício 37 - (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2006) Sabendo que log 10 2=0,30 e log 10 3=0,48, resolva a equação 3^x cdot 2^3 x-1=6^2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
3^xcdot 2^3x-1=6^2x+1
usando as informações log102=0,30 e log103=0,48. Vamos transformar tudo em potências de 2 e 3, simplificar e depois aplicar logaritmo decimal para encontrar x.

Passo 2

Escrevemos 6^2x+1 como produto de potências de 2 e 3:
6^2x+1 = (2cdot3)^2x+1 = 2^2x+1cdot3^2x+1
Logo a equação vira
3^xcdot2^3x-1=2^2x+1cdot3^2x+1

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 2^2x+13^x, obtemos
2^3x-12^2x+1;cdot;3^x3^2x+1=1 Longrightarrow 2^(3x-1)-(2x+1);3^x-(2x+1)=1
Isso simplifica para
2^x-2;3^-x-1=1 Longrightarrow 2^x-2=3^x+1

Passo 4

Aplicamos log10 em ambos os lados:
log10(2^x-2) = log10(3^x+1) Longrightarrow (x-2),log102 = (x+1),log103

Passo 5

Substituindo log102=0,30 e log103=0,48, obtemos
(x-2)cdot0,30 = (x+1)cdot0,48 Longrightarrow 0,30x - 0,60 = 0,48x + 0,48
Reagrupando termos em x:
0,30x - 0,48x = 0,48 + 0,60 Longrightarrow -0,18x = 1,08 Longrightarrow x = 1,08-0,18 = -6

Resposta

x=-6

Exercícios relacionados