Exercício 36 - (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2006) Resolva as inequações logarítmicas:
2<log 2(3 x+1)<4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação logarítmica
2 < log2(3x + 1) < 4,
que é do tipo “logaritmo estritamente entre dois valores”. Vamos usar a monotonicidade do logaritmo de base maior que 1 e a condição de existência do logaritmando.

Passo 2

Escrevemos a condição de existência do logaritmo, que exige
3x + 1 > 0
para que log2(3x+1) esteja definido. Daí
3x > -1 Longrightarrow x > -tfrac13

Passo 3

Como a função f(t)=log2(t) é crescente para t>0, podemos elevar cada parte da desigualdade à potência 2 sem inverter sinais. Assim,
2 < log2(3x+1) < 4 Longrightarrow 2^2 < 3x+1 < 2^4

Passo 4

O duplo confronto 4 < 3x+1 < 16 vira, ao subtrair 1 de todos os termos,
3 < 3x < 15
e dividindo por 3,
1 < x < 5

Passo 5

Por fim, conferimos o domínio: a solução 1 < x < 5 está inteiramente contida em x > -tfrac13, então não há conflito com a condição de existência.

Resposta

A solução da inequação é
x in (1,5)

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