Exercício 38. Determine o valor de
para que a função seja contínua em
:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para .
- Para
vale . - Quer-se que
seja contínua em , ou seja, que não haja “salto” no valor da função em .
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (aula rápida): uma função
é contínua em
se e somente se os dois limites laterais existem e coincidem com o valor da função em
. Formalmente:
Aqui
é o limite quando
se aproxima de
vindo da esquerda (valores menores que
) e
é o limite vindo da direita (valores maiores que
). Para funções definidas por partes, isso significa que o valor da peça da esquerda, ao aproximar-se de
, deve bater com o valor da peça da direita em
.
Passo 3
Calcular
: como a definição dá
para
, o valor da função em
é
Observação didática: polinômios (como
) são contínuos em todo ponto, portanto
.
Passo 4
Calcular o limite lateral à esquerda: para
a função é
, que é uma função linear (também contínua em todo ponto). Assim
Explanação: ao aproximar
de
pela esquerda, basta substituir
na expressão linear porque limites de funções lineares são simplesmente seu valor no ponto.
Passo 5
Impor a condição de continuidade: os limites laterais devem ser iguais ao valor da função em
. Já temos
e
. Logo
Resolver a equação:
Passo 6
Verificação final e comentário amigo: se
, a peça da esquerda fica
para
, então
. A peça da direita em
vale
. Portanto não há salto e a função é contínua em
. Vai dar tudo certo na prova — você conseguiu seguir cada passo!