Exercício 38. Determine o valor de k para que a função seja contínua em x=1 :
f(x)= \begin{cases}k x+1, & x<1 \\\ x^{2}, & x \geq 1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de k\) para que a função seja contínua em \(x=1\). A função dada é \[f(x)= \begin{cases}k x+1, & x<1 \\\ x^{2}, & x \geq 1\end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x<1\] vale \(f(x)=kx+1.
  • Para x\geq 1 vale f(x)=x^{2}.
  • Quer-se que f seja contínua em x=1, ou seja, que não haja “salto” no valor da função em x=1.

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (aula rápida): uma função f é contínua em x=1 se e somente se os dois limites laterais existem e coincidem com o valor da função em 1. Formalmente:
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1).
Aqui \lim_{x\to 1^-} f(x) é o limite quando x se aproxima de 1 vindo da esquerda (valores menores que 1) e \lim_{x\to 1^+} f(x) é o limite vindo da direita (valores maiores que 1). Para funções definidas por partes, isso significa que o valor da peça da esquerda, ao aproximar-se de 1, deve bater com o valor da peça da direita em 1.

Passo 3

Calcular f(1): como a definição dá f(x)=x^{2} para x\geq 1, o valor da função em 1 é
f(1)=1^{2}=1.
Observação didática: polinômios (como x^{2}) são contínuos em todo ponto, portanto \lim_{x\to 1^+} f(x)=f(1)=1.

Passo 4

Calcular o limite lateral à esquerda: para x<1 a função é kx+1, que é uma função linear (também contínua em todo ponto). Assim
\lim_{x\to 1^-} f(x)=\lim_{x\to 1^-} (kx+1)=k\cdot 1 + 1 = k+1.
Explanação: ao aproximar x de 1 pela esquerda, basta substituir x=1 na expressão linear porque limites de funções lineares são simplesmente seu valor no ponto.

Passo 5

Impor a condição de continuidade: os limites laterais devem ser iguais ao valor da função em 1. Já temos \lim_{x\to 1^-} f(x)=k+1 e f(1)=1. Logo
k+1 = 1.
Resolver a equação:
k+1=1 \quad\Rightarrow\quad k=1-1=0.

Passo 6

Verificação final e comentário amigo: se k=0, a peça da esquerda fica f(x)=0\cdot x+1=1 para x<1, então \lim_{x\to 1^-} f(x)=1. A peça da direita em 1 vale 1. Portanto não há salto e a função é contínua em x=1. Vai dar tudo certo na prova — você conseguiu seguir cada passo!

Resposta

k=0

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