Exercício 0.36 Obtenha o conjunto solução.
\left|\frac{3-x}{x+1}\right| \leq 4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\left|\frac{3 - x}{x + 1}\right| \le 4,
ou seja, encontrar todos os x\in\mathbb{R} (exceto x=-1, pois o denominador não pode ser zero) que satisfazem essa desigualdade. O conteúdo envolvido é inequação com valor absoluto de uma expressão racional; usaremos a propriedade de que, para A real e k\ge0,
|A|\le k\quad\Longleftrightarrow\quad A^2 \le k^2.

Passo 2

Aplicando essa propriedade com
A = \frac{3 - x}{x + 1}, \quad k = 4,
obtemos a inequação equivalente
\left(\frac{3 - x}{x + 1}\right)^2 \le 4^2 = 16.

Passo 3

Passamos tudo para um lado e simplificamos:
\left(\frac{3 - x}{x + 1}\right)^2 - 16 \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{(3 - x)^2 - 16\,(x + 1)^2}{(x + 1)^2} \le 0.
Como (x+1)^2>0 para x\neq -1, basta analisar o numerador:
(3 - x)^2 - 16\,(x + 1)^2 \le 0.
Expandindo (3 - x)^2 = x^2 - 6x + 9 e (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1,
x^2 - 6x + 9 \;-\; 16(x^2 + 2x + 1) \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -15x^2 - 38x - 7 \le 0.
Multiplicando por -1 (inverte o sinal):
15x^2 + 38x + 7 \ge 0.

Passo 4

Para resolver
15x^2 + 38x + 7 \ge 0,
calculemos o discriminante:
\Delta = 38^2 - 4\cdot15\cdot7 = 1444 - 420 = 1024 = 32^2.
As raízes são
x = \frac{-38 \pm 32}{2\cdot15} \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{-70}{30} = -\tfrac{7}{3}, \quad x_2 = \frac{-6}{30} = -\tfrac{1}{5}.
Como o coeficiente de x^2 é positivo, 15x^2+38x+7\ge0 vale para
x \le -\tfrac{7}{3} \quad\text{ou}\quad x \ge -\tfrac{1}{5}.

Passo 5

Unindo isso ao domínio x\neq -1 (que aliás fica dentro do intervalo excluído -\tfrac{7}{3} < x < -\tfrac{1}{5}), concluímos que a solução da inequação original é
(-\infty,\,-\tfrac{7}{3}] \;\cup\; [-\tfrac{1}{5},\,\infty).

Resposta

(-\infty,-\tfrac73]\cup[-\tfrac15,\infty).

Exercícios relacionados