Exercício 0.37 Reescreva as expressões sem utilizar o módulo.
|x|+|x+2|+|x-3|.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
|x| + |x+2| + |x-3|
sem utilizar o módulo. Para isso vamos usar a definição de valor absoluto: para qualquer expressão u\), \[|u| = \begin{cases} u, & u \ge 0,\\\\ -\,u, & u<0. \end{cases}
Precisamos identificar em quais intervalos cada argumento x\], \(x+2 e x-3 muda de sinal.

Passo 2

Determinamos os zeros de cada argumento:
x=0,\quad x+2=0\implies x=-2,\quad x-3=0\implies x=3.
Isso divide a reta real em quatro regiões:
  1. x< -2
  2. -2 \le x < 0
  3. 0 \le x < 3
  4. x\ge 3

Passo 3

Para x< -2 temos
x<0,\quad x+2<0,\quad x-3<0,
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|x|=-x,\quad |x+2|=-(x+2),\quad |x-3|=-(x-3).
Somando,
|x|+|x+2|+|x-3| = -x - (x+2) - (x-3) = -3x +1.

Passo 4

Para -2 \le x < 0 temos
x<0,\quad x+2\ge0,\quad x-3<0,
então
|x|=-x,\quad |x+2|=x+2,\quad |x-3|=-(x-3).
Somando,
|x|+|x+2|+|x-3| = -x + (x+2) - (x-3) = -x +5.

Passo 5

Para 0 \le x < 3 temos
x\ge0,\quad x+2\ge0,\quad x-3<0,
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|x|=x,\quad |x+2|=x+2,\quad |x-3|=-(x-3).
Somando,
|x|+|x+2|+|x-3| = x + (x+2) - (x-3) = x +5.

Passo 6

Para x\ge 3 temos
x\ge0,\quad x+2\ge0,\quad x-3\ge0,
então
|x|=x,\quad |x+2|=x+2,\quad |x-3|=x-3.
Somando,
|x|+|x+2|+|x-3| = x + (x+2) + (x-3) = 3x -1.

Resposta

|x| + |x+2| + |x-3| = \begin{cases} -3x + 1, & x < -2,\\\\ -\,x + 5, & -2 \le x < 0,\\\ x + 5, & 0 \le x < 3,\\\\ 3x - 1, & x \ge 3. \end{cases}

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