Exercício 0.37 Reescreva as expressões sem utilizar o módulo.
|x|+|x+3|.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a expressão
|x| + |x+3|
sem usar símbolos de módulo.
O conteúdo é definição de valor absoluto e funções por partes. Vamos usar a propriedade
|u| = \begin{cases} u, & \text{se }u\ge0,\\\\ -u, & \text{se }u<0, \end{cases}
aplicada a u=x e a u=x+3.

Passo 2

Identificamos os pontos onde cada “módulo” muda de sinal, ou seja, onde x=0 e onde x+3=0, isto é, x=-3. Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
(-\infty,-3),\quad[-3,0),\quad[0,\infty).
Em cada intervalo, sabemos o sinal de x e de x+3.

Passo 3

No intervalo x<-3:
x< -3<0 \quad\Longrightarrow\quad x<0\text{ e }x+3<0.
Logo
|x|=-x \quad\text{e}\quad |x+3|=-(x+3).
Somando,
|x|+|x+3| = -x - (x+3) = -2x - 3.

Passo 4

No intervalo -3\le x<0:
-3\le x<0 \quad\Longrightarrow\quad x<0\text{ e }x+3\ge0.
Assim
|x|=-x \quad\text{e}\quad |x+3|=x+3.
Portanto
|x|+|x+3| = -x + (x+3) = 3.

Passo 5

No intervalo x\ge0:
x\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge0\text{ e }x+3\ge3>0.
Então
|x|=x \quad\text{e}\quad |x+3|=x+3.
Logo
|x|+|x+3| = x + (x+3) = 2x+3.

Resposta

|x|+|x+3|= \begin{cases} -2x-3, & x< -3,\\\\ 3, & -3\le x<0,\\\\ 2x+3, & x\ge0. \end{cases}

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