Exercício 37. A partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença, prove que:
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para provar a igualdade
- Informações relevantes (já implícitas no enunciado):
- Pode-se usar as fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença.
- Vamos trabalhar com as funções trigonométricas seno, cosseno e cotangente nos ângulos
e .
Passo 2
Transformar a identidade em uma forma algébrica mais manejável, escrevendo cotangente em termos de seno e cosseno.
- Usar
. Portanto:
- Assim a igualdade original é equivalente a
Passo 3
Passar para uma forma de produto, multiplicando em cruz (isso evita frações):
Agora vamos simplificar o lado esquerdo. Expandindo:
Passo 4
Aplicar as fórmulas do cosseno da soma e da diferença e a fórmula do seno da soma para agrupar termos:
- Pela fórmula do cosseno da diferença:
- Pela fórmula do seno da soma:
- Usando essas duas identidades, o produto expandido do Passo 3 pode ser reescrito como
Substituindo as expressões acima:
Passo 5
Agora calcular o lado direito
também usando fórmulas do cosseno:
- Usar a identidade (derivada das fórmulas do cosseno da soma e da diferença):
Ou seja,
Passo 6
Comparar os dois lados obtidos:
- Do Passo 4 obtivemos que o lado esquerdo é
. - Do Passo 5 obtivemos que o lado direito é
.
Portanto a igualdade (
do Passo 3
será verdadeira se e somente se
isto é, se
Passo 7
Verificar que
:
- Sabe-se que
. Logo essa igualdade é verdadeira, e portanto a identidade inicial também é verdadeira.