Exercício 37. A partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença, prove que:
1-\operatorname{cotg} 23^{\circ}=\frac{2}{1-\operatorname{cotg} 22^{\circ}}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para provar a igualdade
1-\operatorname{cotg}23^\circ=\frac{2}{1-\operatorname{cotg}22^\circ}.
  • Informações relevantes (já implícitas no enunciado):
    • Pode-se usar as fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença.
    • Vamos trabalhar com as funções trigonométricas seno, cosseno e cotangente nos ângulos 22^\circ e 23^\circ.

Passo 2

Transformar a identidade em uma forma algébrica mais manejável, escrevendo cotangente em termos de seno e cosseno.
  • Usar \operatorname{cotg}\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Portanto:
1-\operatorname{cotg}23^\circ=1-\frac{\cos23^\circ}{\sin23^\circ}=\frac{\sin23^\circ-\cos23^\circ}{\sin23^\circ}.
\frac{2}{1-\operatorname{cotg}22^\circ}=\frac{2}{1-\dfrac{\cos22^\circ}{\sin22^\circ}}=\frac{2\sin22^\circ}{\sin22^\circ-\cos22^\circ}.
  • Assim a igualdade original é equivalente a
\frac{\sin23^\circ-\cos23^\circ}{\sin23^\circ}=\frac{2\sin22^\circ}{\sin22^\circ-\cos22^\circ}.

Passo 3

Passar para uma forma de produto, multiplicando em cruz (isso evita frações):
(\sin23^\circ-\cos23^\circ)(\sin22^\circ-\cos22^\circ)=2\sin22^\circ\sin23^\circ.
Agora vamos simplificar o lado esquerdo. Expandindo:
(\sin23^\circ-\cos23^\circ)(\sin22^\circ-\cos22^\circ)= \sin23^\circ\sin22^\circ-\sin23^\circ\cos22^\circ-\cos23^\circ\sin22^\circ+\cos23^\circ\cos22^\circ.

Passo 4

Aplicar as fórmulas do cosseno da soma e da diferença e a fórmula do seno da soma para agrupar termos:
  • Pela fórmula do cosseno da diferença:
\cos(23^\circ-22^\circ)=\cos1^\circ=\cos23^\circ\cos22^\circ+\sin23^\circ\sin22^\circ.
  • Pela fórmula do seno da soma:
\sin(23^\circ+22^\circ)=\sin45^\circ=\sin23^\circ\cos22^\circ+\cos23^\circ\sin22^\circ.
  • Usando essas duas identidades, o produto expandido do Passo 3 pode ser reescrito como
\bigl(\sin23^\circ\sin22^\circ+\cos23^\circ\cos22^\circ\bigr) -\bigl(\sin23^\circ\cos22^\circ+\cos23^\circ\sin22^\circ\bigr).
Substituindo as expressões acima:
(\text{lado esquerdo})=\cos1^\circ-\sin45^\circ.

Passo 5

Agora calcular o lado direito 2\sin22^\circ\sin23^\circ também usando fórmulas do cosseno:
  • Usar a identidade (derivada das fórmulas do cosseno da soma e da diferença):
\cos(23^\circ-22^\circ)-\cos(23^\circ+22^\circ)=2\sin23^\circ\sin22^\circ.
Ou seja,
2\sin22^\circ\sin23^\circ=\cos1^\circ-\cos45^\circ.

Passo 6

Comparar os dois lados obtidos:
  • Do Passo 4 obtivemos que o lado esquerdo é \cos1^\circ-\sin45^\circ.
  • Do Passo 5 obtivemos que o lado direito é \cos1^\circ-\cos45^\circ.
Portanto a igualdade ( \do Passo 3 )\ será verdadeira se e somente se
\cos1^\circ-\sin45^\circ=\cos1^\circ-\cos45^\circ,
isto é, se
\sin45^\circ=\cos45^\circ.

Passo 7

Verificar que \sin45^\circ=\cos45^\circ:
  • Sabe-se que \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Logo essa igualdade é verdadeira, e portanto a identidade inicial também é verdadeira.

Resposta

1-\operatorname{cotg}23^\circ=\dfrac{2}{1-\operatorname{cotg}22^\circ}

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