Exercício 40.
Prove que \cos x=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} x}{1+\operatorname{tg}^{2} x}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\cos x = \frac{1-\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{1+\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.
Informações e notações fornecidas ou necessárias (retiradas do enunciado):
  • A função \operatorname{tg} é a tangente: \operatorname{tg} y = \dfrac{\sin y}{\cos y}.
  • As funções \sin e \cos satisfazem a identidade pitagórica \sin^{2}y+\cos^{2}y=1.
  • O objetivo é obter uma expressão para \cos x escrita em função de \operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 2

Vamos introduzir uma substituição útil (metódica e comum em trigonometria): defina
t=\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.
Explicando cuidadosamente: aqui t é apenas um nome para a tangente do semângulo \tfrac{x}{2}. Da definição de tangente obtemos diretamente
\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=t\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Isso é só reorganizar \;t=\dfrac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\cos(\tfrac{x}{2})}\; multiplicando ambos os lados por \cos(\tfrac{x}{2}).

Passo 3

Use uma fórmula de ângulo duplo para \cos x escrita em termos de meias-penas: a identidade básica é
\cos x=\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Explicando: esta identidade vem da fórmula \cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta aplicada a \theta=\tfrac{x}{2}.
Agora substitua \sin(\tfrac{x}{2})=t\cos(\tfrac{x}{2}) nessa expressão:
\cos x=\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\bigl(t\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr)^{2} =\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-t^{2}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Fatorando \cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) temos
\cos x=\bigl(1-t^{2}\bigr)\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 4

Agora precisamos escrever \cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) em termos de t. Use a identidade pitagórica aplicada a \tfrac{x}{2}:
\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=1.
Substituindo \sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=t\cos\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) obtemos
t^{2}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=1,
ou seja
\bigl(1+t^{2}\bigr)\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=1.
Daí
\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 5

Substitua \cos^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=\dfrac{1}{1+t^{2}} na expressão obtida no Passo 3:
\cos x=\bigl(1-t^{2}\bigr)\cdot\frac{1}{1+t^{2}}=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}.
Lembre que t=\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr); voltando à notação da tangente,
\cos x=\frac{1-\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{1+\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 6

Comentário final didático e alternativa curta: a razão por que esse método funciona é que escrever funções de x em termos das funções de \tfrac{x}{2} e depois usar \tan(\tfrac{x}{2})=\dfrac{\sin(\tfrac{x}{2})}{\cos(\tfrac{x}{2})} permite reduzir tudo a uma razão envolvendo t. Outra via equivalente é começar da fórmula de ângulo duplo
\cos(2\theta)=\frac{1-\operatorname{tg}^{2}\theta}{1+\operatorname{tg}^{2}\theta}
(que se prova do mesmo jeito), e então escolher \theta=\tfrac{x}{2} para chegar à identidade desejada.

Resposta

\cos x=\frac{1-\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{1+\operatorname{tg}^{2}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

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