Exercício 40.
Prove que
.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
Informações e notações fornecidas ou necessárias (retiradas do enunciado):
- A função
é a tangente: . - As funções
e satisfazem a identidade pitagórica . - O objetivo é obter uma expressão para
escrita em função de .
Passo 2
Vamos introduzir uma substituição útil (metódica e comum em trigonometria): defina
Explicando cuidadosamente: aqui
é apenas um nome para a tangente do semângulo
. Da definição de tangente obtemos diretamente
Isso é só reorganizar
multiplicando ambos os lados por
.
Passo 3
Use uma fórmula de ângulo duplo para
escrita em termos de meias-penas: a identidade básica é
Explicando: esta identidade vem da fórmula
aplicada a
.
Agora substitua
nessa expressão:
Fatorando
temos
Passo 4
Agora precisamos escrever
em termos de
. Use a identidade pitagórica aplicada a
:
Substituindo
obtemos
ou seja
Daí
Passo 5
Substitua
na expressão obtida no Passo 3:
Lembre que
; voltando à notação da tangente,
Passo 6
Comentário final didático e alternativa curta: a razão por que esse método funciona é que escrever funções de
em termos das funções de
e depois usar
permite reduzir tudo a uma razão envolvendo
. Outra via equivalente é começar da fórmula de ângulo duplo
(que se prova do mesmo jeito), e então escolher
para chegar à identidade desejada.