Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
f(x)=\frac{x^{2}+3 x+2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
f(x)=\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-4}.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{o numerador }x^{2}+3x+2 \quad\text{e o denominador }x^{2}-4.
Os valores que anulam o denominador são x=\pm 2, portanto a função não está definida em x=2 nem em x=-2. Também note que o numerador é zero em x=-2 (pois (-2)^2+3(-2)+2=0), o que indica uma possível fator comum que podemos explorar. Neste passo apenas listei o que o problema dá e quais pontos são relevantes; ainda não comecei a calcular a derivada.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador (isso ajuda a simplificar antes de derivar). Faço a fatoração completa:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2),
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Como as duas expressões têm o fator (x+2), para todo x tal que x\neq -2 podemos cancelar:
f(x)=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{x+1}{x-2},\qquad x\neq -2.
Importante: mesmo com a simplificação, a função original continua indefinida em x=\pm 2. A simplificação diz que, em qualquer ponto onde a função original esteja definida (isto é, x\neq \pm 2), a expressão é igual a \frac{x+1}{x-2}. A derivada será então calculada para x\neq \pm 2.

Passo 3

Vou usar a regra do quociente para derivar uma função da forma \frac{u(x)}{v(x)}. A regra do quociente diz:
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x) e v(x) são duas funções diferenciáveis; u'(x) é a derivada de u e v'(x) a derivada de v. Também lembro as regras básicas de derivação que vou usar: a derivada de x é 1, a derivada de uma constante é 0, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente à forma simplificada \displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x-2} (válida para x\neq -2):
Defino u(x)=x+1 e v(x)=x-2. Então
u'(x)=1,\qquad v'(x)=1.
Substituo na fórmula da regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{1\cdot (x-2)-(x+1)\cdot 1}{(x-2)^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
1\cdot (x-2)-(x+1)\cdot 1=(x-2)-(x+1)=x-2-x-1=-3.
Portanto
f'(x)=\frac{-3}{(x-2)^{2}}=-\frac{3}{(x-2)^{2}},\qquad x\neq -2.
Lembro que a expressão só vale onde f está definida, ou seja, precisamos também excluir x=2. Assim a fórmula é válida para x\neq \pm 2.

Passo 5

Para confirmar (e para treinar uma técnica comum na prova), mostro rapidamente a derivação direta usando a forma original sem cancelar primeiro. Tome u(x)=x^{2}+3x+2 e v(x)=x^{2}-4. Então
u'(x)=2x+3,\qquad v'(x)=2x.
Pela regra do quociente:
f'(x)=\frac{(2x+3)(x^{2}-4)-(x^{2}+3x+2)(2x)}{(x^{2}-4)^{2}}.
Faço a multiplicação no numerador:
(2x+3)(x^{2}-4)=2x^{3}+3x^{2}-8x-12,
(x^{2}+3x+2)(2x)=2x^{3}+6x^{2}+4x.
Subtraindo:
(2x^{3}+3x^{2}-8x-12)-(2x^{3}+6x^{2}+4x)=-3x^{2}-12x-12.
Coloco fator comum -3:
-3x^{2}-12x-12=-3(x^{2}+4x+4)=-3(x+2)^{2}.
Então
f'(x)=\frac{-3(x+2)^{2}}{(x^{2}-4)^{2}}=\frac{-3(x+2)^{2}}{\big((x-2)(x+2)\big)^{2}}=-\frac{3}{(x-2)^{2}},
onde cancelei (x+2)^{2} (válido para x\neq -2). Chego ao mesmo resultado, confirmando a simplificação feita antes.

Passo 6

Conclusão e observações finais:
  • A derivada é
f'(x)=-\frac{3}{(x-2)^{2}}.
  • Esta expressão é válida para todos os x tais que x\neq \pm 2, porque a função original não está definida em x=2 nem em x=-2. Em particular, em x=-2 há uma descontinuidade removível da função original, mas como a função não está definida ali, não se fala em derivada de f nesse ponto.

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{(x-2)^{2}} para \,x\neq\pm 2

Exercícios relacionados