Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
Informações dadas e observações imediatas:
Os valores que anulam o denominador são
, portanto a função não está definida em
nem em
. Também note que o numerador é zero em
(pois
), o que indica uma possível fator comum que podemos explorar. Neste passo apenas listei o que o problema dá e quais pontos são relevantes; ainda não comecei a calcular a derivada.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador (isso ajuda a simplificar antes de derivar). Faço a fatoração completa:
Como as duas expressões têm o fator
, para todo
tal que
podemos cancelar:
Importante: mesmo com a simplificação, a função original continua indefinida em
. A simplificação diz que, em qualquer ponto onde a função original esteja definida (isto é,
), a expressão é igual a
. A derivada será então calculada para
.
Passo 3
Vou usar a regra do quociente para derivar uma função da forma
. A regra do quociente diz:
Aqui
e
são duas funções diferenciáveis;
é a derivada de
e
a derivada de
. Também lembro as regras básicas de derivação que vou usar: a derivada de
é
, a derivada de uma constante é
, e a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente à forma simplificada
(válida para
):
Defino
e
. Então
Substituo na fórmula da regra do quociente:
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Portanto
Lembro que a expressão só vale onde
está definida, ou seja, precisamos também excluir
. Assim a fórmula é válida para
.
Passo 5
Para confirmar (e para treinar uma técnica comum na prova), mostro rapidamente a derivação direta usando a forma original sem cancelar primeiro. Tome
e
. Então
Pela regra do quociente:
Faço a multiplicação no numerador:
Subtraindo:
Coloco fator comum
:
Então
onde cancelei
(válido para
). Chego ao mesmo resultado, confirmando a simplificação feita antes.
Passo 6
Conclusão e observações finais:
- A derivada é
- Esta expressão é válida para todos os
tais que , porque a função original não está definida em nem em . Em particular, em há uma descontinuidade removível da função original, mas como a função não está definida ali, não se fala em derivada de nesse ponto.