Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função racional
Informações dadas relevantes: o numerador é
, o denominador é
. A função não está definida em
porque o denominador zera nesses pontos. O objetivo é obter
, a derivada de
.
Passo 2
Vou usar duas ferramentas fundamentais que precisamos entender bem:
- Regra do poder (power rule) para polinômios: se
com inteiro, então
Isto significa que para cada termo polinomial elevamos o expoente e multiplicamos coeficiente pelo expoente reduzido em uma unidade.
- Regra do quociente (quotient rule): se
com , então
Aqui
é a derivada do numerador
e
é a derivada do denominador
. A fórmula diz: derive o numerador e multiplique pelo denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identifico
e
no meu caso:
Agora aplico a regra do poder para calcular
e
.
Derivando termo a termo:
Passo 4
Aplico a regra do quociente com os valores encontrados:
Passo 5
Agora vou expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Expando os produtos:
Então o numerador fica
Agrupando termos semelhantes:
logo
Portanto
Passo 6
Vou tentar fatorar o numerador para simplificar a expressão. Primeiro vejo que
é fator comum em todos os termos:
Agora fatoro o polinômio cúbico
. Procuro raízes racionais possíveis: divisores de
são
. Testando
:
logo
é raiz. Faço a divisão polinomial (ou sintética) para obter:
E
é um quadrado perfeito:
Portanto o numerador fatorado é
Passo 7
Substituindo a fatoração na expressão da derivada:
Como
, temos
. Podemos então cancelar o fator
no numerador e denominador, lembrando que esse cancelamento é puramente algébrico e a expressão resultante só vale para
onde a função original e a derivada estavam definidas (isto é,
). Ao cancelar:
Passo 8
Resumo final: a forma simplificada e prática para usar na prova é
com a observação de que a derivada não está definida em
porque
também não está definida nesses pontos.