Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função racional
f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}.
Informações dadas relevantes: o numerador é x^{3}+1, o denominador é x^{2}-1. A função não está definida em x=\pm 1 porque o denominador zera nesses pontos. O objetivo é obter f'(x), a derivada de f.

Passo 2

Vou usar duas ferramentas fundamentais que precisamos entender bem:
  1. Regra do poder (power rule) para polinômios: se g(x)=x^{n} com n inteiro, então
g'(x)=n x^{n-1}.
Isto significa que para cada termo polinomial elevamos o expoente e multiplicamos coeficiente pelo expoente reduzido em uma unidade.
  1. Regra do quociente (quotient rule): se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada do numerador u(x) e v'(x) é a derivada do denominador v(x). A fórmula diz: derive o numerador e multiplique pelo denominador, menos o numerador vezes a derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identifico u(x) e v(x) no meu caso:
u(x)=x^{3}+1,\qquad v(x)=x^{2}-1.
Agora aplico a regra do poder para calcular u'(x) e v'(x).
Derivando termo a termo:
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})+\frac{d}{dx}(1)=3x^{2}+0=3x^{2},
v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})-\frac{d}{dx}(1)=2x-0=2x.

Passo 4

Aplico a regra do quociente com os valores encontrados:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(3x^{2})(x^{2}-1)-(x^{3}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

Agora vou expandir e simplificar o numerador passo a passo.
Expando os produtos:
(3x^{2})(x^{2}-1)=3x^{4}-3x^{2},
(x^{3}+1)(2x)=2x^{4}+2x.
Então o numerador fica
3x^{4}-3x^{2}-(2x^{4}+2x)=3x^{4}-3x^{2}-2x^{4}-2x.
Agrupando termos semelhantes:
3x^{4}-2x^{4}=x^{4},
logo
\text{numerador}=x^{4}-3x^{2}-2x.
Portanto
f'(x)=\frac{x^{4}-3x^{2}-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 6

Vou tentar fatorar o numerador para simplificar a expressão. Primeiro vejo que x é fator comum em todos os termos:
x^{4}-3x^{2}-2x=x\bigl(x^{3}-3x-2\bigr).
Agora fatoro o polinômio cúbico x^{3}-3x-2. Procuro raízes racionais possíveis: divisores de 2 são \pm1,\pm2. Testando x=2:
2^{3}-3\cdot2-2=8-6-2=0,
logo x=2 é raiz. Faço a divisão polinomial (ou sintética) para obter:
x^{3}-3x-2=(x-2)(x^{2}+2x+1).
E x^{2}+2x+1 é um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Portanto o numerador fatorado é
x^{4}-3x^{2}-2x=x(x-2)(x+1)^{2}.

Passo 7

Substituindo a fatoração na expressão da derivada:
f'(x)=\frac{x(x-2)(x+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{2}}.
Como x^{2}-1=(x-1)(x+1), temos (x^{2}-1)^{2}=(x-1)^{2}(x+1)^{2}. Podemos então cancelar o fator (x+1)^{2} no numerador e denominador, lembrando que esse cancelamento é puramente algébrico e a expressão resultante só vale para x onde a função original e a derivada estavam definidas (isto é, x\neq\pm1). Ao cancelar:
f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}},\qquad x\neq\pm1.

Passo 8

Resumo final: a forma simplificada e prática para usar na prova é
f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}},
com a observação de que a derivada não está definida em x=\pm1 porque f também não está definida nesses pontos.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^{2}},\;x\neq\pm1

Exercícios relacionados