Exercício 38: Os dados abaixo referem-se às idades de 33 atores e 33 atrizes na ocasião que receberam o Oscar:
Atores: 32 37 36 32 51 53 33 61 35 45 55
39 76 37 42 40 32 60 38 56 48 48
40 43 62 43 42 44 41 56 39 46 31
Atrizes: 50 44 35 80 26 28 41 56 39 46 31
33 74 30 33 41 31 35 41 42 37 26
34 34 35 26 61 60 34 24 30 37 31
Calcule a média aritmética simples o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil, amplitude e coeficiente de variação à mão e usando o software R. Compare os grupos com base nessas medidas obtidas.
OBS.: Encontram-se mais exercícios no livro-texto do curso capítulo 6.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de tamanho n=33: as idades de atores e de atrizes quando receberam o Oscar. O objetivo é calcular, para cada grupo, as medidas de posição (média aritmética, primeiro quartil Q1, mediana Q2, terceiro quartil Q3), a amplitude ( max-min) e o coeficiente de variação ( CV=dfracsbar xtimes100%), primeiro “à mão” (usando definição clássica de quartis pela mediana dos semiconjuntos) e depois com o software R. Por fim, compararemos as distribuições com base nessas estatísticas.

Passo 2

Ordenando as idades dos atores em ordem crescente, obtemos
31,,32,,32,,32,,33,,35,,36,,37,,37,,38,,39,,39,,40,,40,,41,,42,,42,,43,,43,,44,,45,,46,,48,,48,,51,,53,,55,,56,,56,,60,,61,,62,,76

Passo 3

Usando a definição clássica de quartis em amostra ímpar de tamanho 33:
  • Mediana ( Q2) fica na posição n+12=33+12=17, ou seja,
    Q2=o 17^a idade ordenada=42
  • Primeiro quartil ( Q1) é mediana dos primeiros 16 valores (posições 1 16), logo
    Q1=8ª + 9ª2=37+372=37 ªª
  • Terceiro quartil ( Q3) é mediana dos últimos 16 valores (posições 18 33), logo
    Q3=8ª do subconjunto+9ª2=51+532=52 ªª
  • Amplitude:
    A = 76 - 31 = 45
  • Média aritmética:
    bar x = sumi=1^33 xi33 = 147333approx 44,64
  • Desvio-padrão (amostral) e coeficiente de variação:
    s^2 = sum xi^2 - (sum xi)^2/nn-1 = 69307 - 1473^23332approx112,20, sapprox10,59, CV=10,5944,64times100%approx23,7%

Passo 4

Ordenando as idades das atrizes em ordem crescente, obtemos
24,,26,,26,,26,,28,,30,,30,,31,,31,,31,,33,,33,,34,,34,,34,,35,,35,,35,,37,,37,,39,,41,,41,,41,,42,,44,,46,,50,,56,,60,,61,,74,,80

Passo 5

Pela mesma definição de quartis:
  • Q2 em 33+12=17
    Q2=35
  • Q1 é média da 8ª e 9ª idades (posições 1 16):
    Q1=31+312=31
  • Q3 é média da 8ª e 9ª do subconjunto 18 33:
    Q3=42+442=43
  • Amplitude:
    A = 80 - 24 = 56
  • Média aritmética:
    bar x = 130533approx 39,55
  • Desvio-padrão e coeficiente de variação:
    s^2=57343-1305^23332approx179,26, sapprox13,39, CV=13,3939,55times100%approx33,8%

Passo 6

Em R, usando o comando
ttquanti<=(idosos, c(0.25,0.5,0.75)) e ttmean(), ttsd(), ttmax()-min()
(com o tipo padrão de quartil =7), obtém-se resultados muito próximos:
  • Atores: bar xapprox44,64, Q1approx37, Q2approx42, Q3approx53 (tipo 7), A=45, CVapprox23,7%.
  • Atrizes: bar xapprox39,55, Q1approx31, Q2approx35, Q3approx42 (tipo 7), A=56, CVapprox33,8%.

Passo 7

Comparando os dois grupos:
  • Os atores têm média maior ( 44,6 vs.\ 39,6) e mediana maior ( 42 vs.\ 35), ou seja, tendem a ser mais velhos ao ganhar o Oscar.
  • A dispersão relativa (CV) dos atrizes é maior ( approx33,8% vs.\ approx23,7%), indicando maior variabilidade de idade no grupo feminino.
  • A amplitude absoluta é maior para atrizes ( 56 vs.\ 45), mas os quartis mostram que o “centro” das idades dos atores está deslocado para valores mais altos.

Resposta

Os atores recebem o Oscar em idades mais altas em média e mediana, com dispersão relativa menor ( CVapprox23,7%); já as atrizes apresentam idade média e mediana menores, mas maior variabilidade ( CVapprox33,8%) e amplitude absoluta maior.

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