Questaio 4 - Substitua a integral cartesiana por uma integral polar equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. Desenhe a região de integração.
Passo 1
O enunciado pede para trocar a integral dupla em coordenadas cartesianas
por uma integral em coordenadas polares, traçar a região de integração e, em seguida, calcular essa integral polar. O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas polares e uso do jacobiano.
Passo 2
Identificamos a região em
-plano:
Isso é exatamente o primeiro quadrante da circunferência de raio
. Num esboço, a região é o quarto de disco centrado na origem, limitado por
e por
e
.
Passo 3
Fazemos a mudança para polares:
Na região descrita temos
E
. Assim a integral fica
Passo 4
Calcular a integral interna em
:
Use a substituição
, logo
, isto é,
. Os limites em
vão de
a
.
Passo 5
Aplicando a substituição:
Passo 6
Agora integramos em
:
Multiplicando pelos resultados, obtemos