Questaio 4 - Substitua a integral cartesiana por uma integral polar equivalente. Em seguida, calcule a integral polar. Desenhe a região de integração.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para trocar a integral dupla em coordenadas cartesianas
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx
por uma integral em coordenadas polares, traçar a região de integração e, em seguida, calcular essa integral polar. O conteúdo envolve mudança de variáveis para coordenadas polares e uso do jacobiano.

Passo 2

Identificamos a região em xy-plano:
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le \sqrt{1 - x^{2}}.
Isso é exatamente o primeiro quadrante da circunferência de raio 1. Num esboço, a região é o quarto de disco centrado na origem, limitado por r=1 e por \theta=0 e \theta=\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Fazemos a mudança para polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.
Na região descrita temos
0 \le r \le 1,\quad 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
E x^{2}+y^{2}=r^{2}. Assim a integral fica
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\!\int_{r=0}^{1}\sin\bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{1}r\,\sin\bigl(r^{2}\bigr)\,dr.
Use a substituição u=r^{2}, logo du=2r\,dr, isto é, r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du. Os limites em u vão de 0 a 1.

Passo 5

Aplicando a substituição:
\int_{0}^{1}r\,\sin(r^{2})\,dr =\tfrac12\int_{0}^{1}\sin(u)\,du =\tfrac12\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} =\tfrac12\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Passo 6

Agora integramos em \theta:
\int_{0}^{\pi/2}d\theta = \frac{\pi}{2}.
Multiplicando pelos resultados, obtemos
\frac{\pi}{2}\times \frac12\bigl(1-\cos(1)\bigr) =\frac{\pi}{4}\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\frac{\pi}{4}\bigl(1-\cos(1)\bigr)

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