Exercício 3.43. Mostre que a curva
tal que
está contida num plano.
Passo 1
Enunciado e o que se pede (o que o problema dá e o que precisa ser mostrado).
- O enunciado dá uma curva
(onde é um intervalo) tal que para todo . - A pergunta: mostrar que a imagem da curva
está contida num plano de . Em outras palavras, existe um plano afim tal que para todo .
Passo 2
Entender a consequência direta de
: derivada nula implica função constante.
- Se uma função vetorial tem derivada igual a zero em todo o intervalo, então essa função é constante nesse intervalo. Essa propriedade vale componente a componente: se cada componente tem derivada zero, cada componente é constante.
- Aplicando isso a
, como , concluímos que é uma função constante. Ou seja, existe um vetor constante tal que, para todo ,
Passo 3
Integrar uma vez: obter expressão para
.
- Integrar uma igualdade vetorial faz-se coordenada a coordenada; a integral indefinida introduz uma constante vetorial de integração.
- Como
constante, ao integrar temos
onde
é um vetor constante (determinado por uma condição inicial, por exemplo
para algum
). Aqui a notação significa que cada componente de
é uma função afim em
.
Passo 4
Integrar mais uma vez: obter expressão para
.
- Integramos novamente
. Novamente surge uma constante vetorial de integração:
onde
é mais um vetor constante (por exemplo
). Essa é a forma geral:
é um polinômio vetorial de grau no máximo
em
.
Passo 5
Mostrar que
está contida num plano afim.
- Reescrevendo a expressão integrando em torno de um ponto
(isso costuma deixar a razão mais direta): como constante, integrando desde obtemos
e integrando de novo
- Então, para todo
,
O lado direito é uma combinação linear (com coeficientes escalares que dependem de
) dos vetores
e
. Logo
- Definindo o conjunto afim
vemos que
para todo
. Assim
.
Passo 6
Interpretação geométrica e casos degenerados.
-
é um subespaço linear de dimensão ou . Se a dimensão for , então é um plano afim propriamente dito (uma “reta deslocada” de dimensão 2) e está contida exatamente nesse plano. Se a dimensão for (ou seja, e são múltiplos um do outro), então é uma porção de reta; uma reta está contida em muitos planos, então também existe um plano que a contém. Portanto em todos os casos a curva está contida em algum plano. - Exemplo concreto para fixar a ideia: escolha
, e . Então está contida no plano (o plano gerado por os eixos ) — é uma parábola no plano .
Passo 7
Resumo final do raciocínio (motivação rápida):
é constante
é polinomial de grau
todos os pontos diferem de um ponto fixo por combinações lineares de dois vetores fixos
imagem contida numa translação de um subespaço de dimensão
, isto é, contida num plano.
Resposta
A curva
satisfaz
para qualquer
; portanto
está contida num plano (ou numa reta, caso degenerado).