Exercício 3.43. Mostre que a curva \alpha tal que \alpha^{\prime \prime \prime}(t)=0 está contida num plano.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (o que o problema dá e o que precisa ser mostrado).
  • O enunciado dá uma curva \alpha\colon I\to\mathbb{R}^3 (onde I é um intervalo) tal que \alpha^{\prime\prime\prime}(t)=0 para todo t\in I.
  • A pergunta: mostrar que a imagem da curva \alpha(I) está contida num plano de \mathbb{R}^3. Em outras palavras, existe um plano afim P\subset\mathbb{R}^3 tal que \alpha(t)\in P para todo t\in I.

Passo 2

Entender a consequência direta de \alpha^{\prime\prime\prime}(t)=0: derivada nula implica função constante.
  • Se uma função vetorial tem derivada igual a zero em todo o intervalo, então essa função é constante nesse intervalo. Essa propriedade vale componente a componente: se cada componente tem derivada zero, cada componente é constante.
  • Aplicando isso a \alpha^{\prime\prime}, como \big(\alpha^{\prime\prime}\big)^\prime=\alpha^{\prime\prime\prime}=0, concluímos que \alpha^{\prime\prime} é uma função constante. Ou seja, existe um vetor constante v\in\mathbb{R}^3 tal que, para todo t\in I,
\alpha^{\prime\prime}(t)=v.

Passo 3

Integrar uma vez: obter expressão para \alpha'.
  • Integrar uma igualdade vetorial faz-se coordenada a coordenada; a integral indefinida introduz uma constante vetorial de integração.
  • Como \alpha^{\prime\prime}(t)=v constante, ao integrar temos
\alpha'(t)=\int v\,dt = v\,t + w,
onde w\in\mathbb{R}^3 é um vetor constante (determinado por uma condição inicial, por exemplo w=\alpha'(t_0)-v t_0 para algum t_0\in I). Aqui a notação significa que cada componente de \alpha' é uma função afim em t.

Passo 4

Integrar mais uma vez: obter expressão para \alpha.
  • Integramos novamente \alpha'(t)=v t + w. Novamente surge uma constante vetorial de integração:
\alpha(t)=\int (v t + w)\,dt = \tfrac{1}{2}v t^2 + w t + u,
onde u\in\mathbb{R}^3 é mais um vetor constante (por exemplo u=\alpha(t_0)-\tfrac12 v t_0^2 - w t_0). Essa é a forma geral: \alpha é um polinômio vetorial de grau no máximo 2 em t.

Passo 5

Mostrar que \alpha(t) está contida num plano afim.
  • Reescrevendo a expressão integrando em torno de um ponto t_0\in I (isso costuma deixar a razão mais direta): como \alpha^{\prime\prime}=v constante, integrando desde t_0 obtemos
\alpha'(t)=v\,(t-t_0)+\alpha'(t_0)
e integrando de novo
\alpha(t)=\tfrac{1}{2}v\,(t-t_0)^2+\alpha'(t_0)(t-t_0)+\alpha(t_0).
  • Então, para todo t\in I,
\alpha(t)-\alpha(t_0)=\tfrac{1}{2}v\,(t-t_0)^2+\alpha'(t_0)(t-t_0).
O lado direito é uma combinação linear (com coeficientes escalares que dependem de t) dos vetores v e \alpha'(t_0). Logo
\alpha(t)-\alpha(t_0)\in\operatorname{span}\{v,\alpha'(t_0)\}.
  • Definindo o conjunto afim
P:=\alpha(t_0)+\operatorname{span}\{v,\alpha'(t_0)\},
vemos que \alpha(t)\in P para todo t\in I. Assim \alpha(I)\subset P.

Passo 6

Interpretação geométrica e casos degenerados.
  • \operatorname{span}\{v,\alpha'(t_0)\} é um subespaço linear de dimensão 0,1 ou 2. Se a dimensão for 2, então P é um plano afim propriamente dito (uma “reta deslocada” de dimensão 2) e \alpha(I) está contida exatamente nesse plano. Se a dimensão for 1 (ou seja, v e \alpha'(t_0) são múltiplos um do outro), então \alpha(I) é uma porção de reta; uma reta está contida em muitos planos, então também existe um plano que a contém. Portanto em todos os casos a curva está contida em algum plano.
  • Exemplo concreto para fixar a ideia: escolha v=(1,0,0), \alpha'(t_0)=(0,1,0) e \alpha(t_0)=(0,0,0). Então \alpha(t)=\tfrac12(1,0,0)(t-t_0)^2+(0,1,0)(t-t_0) está contida no plano z=0 (o plano gerado por os eixos x,y) — é uma parábola no plano z=0.

Passo 7

Resumo final do raciocínio (motivação rápida): \alpha^{\prime\prime\prime}=0\Rightarrow\alpha^{\prime\prime} é constante \Rightarrow\alpha é polinomial de grau \le2 \Rightarrow todos os pontos diferem de um ponto fixo por combinações lineares de dois vetores fixos \Rightarrow imagem contida numa translação de um subespaço de dimensão \le2, isto é, contida num plano.

Resposta

A curva \alpha satisfaz \alpha(t)\in \alpha(t_0)+\operatorname{span}\{\alpha''(t_0),\alpha'(t_0)\} para qualquer t_0\in I; portanto \alpha(I) está contida num plano (ou numa reta, caso degenerado).

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