Exercício 40. Calcule
, onde
é a região no primeiro quadrante limitada pelos círculos
e as retas
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos
,
e pelas retas
,
.
Informações relevantes dadas:
- A região
está no primeiro quadrante (ou seja, e ). - Limites radiais dados pelos círculos centrados na origem:
e . - Limites angulares dados pelas retas que passam pela origem:
e . - A função a integrar é a constante
.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla acima sobre a região
.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares (explicação didática e escolha do método).
- Quando a região é limitada por círculos centrados na origem e por retas que passam pela origem, coordenadas polares tornam a descrição dos limites muito simples: círculos viram retas
constante e retas que passam pela origem viram ângulos constante. - Em coordenadas polares as variáveis são
com
onde
é a distância à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
- O elemento de área
transforma-se em
Breve justificativa do fator
: para pequenos incrementos
e
a área de um elemento é aproximadamente um retângulo com lados
e
, daí a área aproximada
; formalmente isso vem do determinante da Jacobiana da transformação.
Passo 3
Converter as fronteiras da região
para coordenadas polares.
- Os círculos
e correspondem a
respectivamente.
- A reta
(no primeiro quadrante) corresponde a
- A reta
corresponde a
- Como estamos no primeiro quadrante, os ângulos relevantes ficam entre
e , e o raio varia entre e .
Portanto, em coordenadas polares a região
é descrita por
Passo 4
Escrever a integral na nova variável e organizar a integração.
- Substituindo
e a função , a integral fica
- Calcule a integral interna em
:
- Assim a integral reduz-se à integral em
Passo 5
Calcular a integral em
(último passo do cálculo).
- A primitiva de
em relação a é . - Avaliando nos limites: