Exercício 40. Calcule \iint_{D} 2 d x d y, onde D é a região no primeiro quadrante limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=2, x^{2}+y^{2}=3 e as retas y=x, y=2 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} 2\,dx\,dy,
onde D é a região do primeiro quadrante limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=2, x^{2}+y^{2}=3 e pelas retas y=x, y=2x.
Informações relevantes dadas:
  • A região D está no primeiro quadrante (ou seja, x\ge0 e y\ge0).
  • Limites radiais dados pelos círculos centrados na origem: x^{2}+y^{2}=2 e x^{2}+y^{2}=3.
  • Limites angulares dados pelas retas que passam pela origem: y=x e y=2x.
  • A função a integrar é a constante 2.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla acima sobre a região D.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares (explicação didática e escolha do método).
  • Quando a região é limitada por círculos centrados na origem e por retas que passam pela origem, coordenadas polares tornam a descrição dos limites muito simples: círculos viram retas r= constante e retas que passam pela origem viram ângulos \theta= constante.
  • Em coordenadas polares as variáveis são (r,\theta) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área dx\,dy transforma-se em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Breve justificativa do fator r: para pequenos incrementos dr e d\theta a área de um elemento é aproximadamente um retângulo com lados dr e r\,d\theta, daí a área aproximada r\,dr\,d\theta; formalmente isso vem do determinante da Jacobiana da transformação.

Passo 3

Converter as fronteiras da região D para coordenadas polares.
  • Os círculos x^{2}+y^{2}=2 e x^{2}+y^{2}=3 correspondem a
r=\sqrt{2}\quad\text{e}\quad r=\sqrt{3},
respectivamente.
  • A reta y=x (no primeiro quadrante) corresponde a
\tan\theta = \frac{y}{x}=1 \quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}.
  • A reta y=2x corresponde a
\tan\theta = \frac{y}{x}=2 \quad\Rightarrow\quad \theta=\arctan(2).
  • Como estamos no primeiro quadrante, os ângulos relevantes ficam entre \theta=\dfrac{\pi}{4} e \theta=\arctan(2), e o raio varia entre r=\sqrt{2} e r=\sqrt{3}.
Portanto, em coordenadas polares a região D é descrita por
\{(r,\theta)\mid \sqrt{2}\le r\le\sqrt{3},\\ \frac{\pi}{4}\le\theta\le\arctan(2)\}.

Passo 4

Escrever a integral na nova variável e organizar a integração.
  • Substituindo dx\,dy = r\,dr\,d\theta e a função 2, a integral fica
\iint_{D} 2\,dx\,dy = \int_{\theta=\pi/4}^{\arctan(2)}\int_{r=\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2\; r\; dr\; d\theta.
  • Calcule a integral interna em r:
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 2r\,dr = \left[ r^{2} \right]_{r=\sqrt{2}}^{r=\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2} = 3 - 2 = 1.
  • Assim a integral reduz-se à integral em \theta
\int_{\pi/4}^{\arctan(2)} 1\, d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \theta (último passo do cálculo).
  • A primitiva de 1 em relação a \theta é \theta.
  • Avaliando nos limites:
\theta\Big|_{\theta=\pi/4}^{\theta=\arctan(2)}.

Resposta

\arctan(2)-\dfrac{\pi}{4}

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