Exercício 41. Calcule \iint_{D} 10 d x d y, onde D é a região no terceiro quadrante limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=3 e as retas y=x, y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} 10\,dx\,dy,
onde D é a região no terceiro quadrante limitada pelos círculos \,x^{2}+y^{2}=1, \,x^{2}+y^{2}=3 e pelas retas \,y=x e \,y=3x.
Informações relevantes dadas:
  • As curvas radiais são os círculos \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=3.
  • As fronteiras angulares são as retas \,y=x e \,y=3x.
  • A região está no terceiro quadrante (ou seja, x<0 e y<0).
  • A função a integrar é a constante 10.

Passo 2

Escolha do método: como as fronteiras incluem círculos centrados na origem, é muito natural usar coordenadas polares. Vou explicar o básico das coordenadas polares para quem está começando:
  • Em coordenadas polares usa-se \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta, onde \,r\ge0 é a distância ao origem e \,\theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • O elemento de área em coordenadas polares é \,dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Isso aparece porque a pequena área é um setor circular aproximado de altura dr e comprimento angular r\,d\theta; o produto dá r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o jacobiano da transformação.

Passo 3

Encontrar os limites radiais: as equações \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=3 ficam, em polares, simplesmente
r^{2}=1\quad\Rightarrow\quad r=1, \qquad r^{2}=3\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt{3}.
Portanto o raio r varia entre \,1 e \,\sqrt{3}:
1 \le r \le \sqrt{3}.

Passo 4

Encontrar os limites angulares: as retas têm forma \,y = m x. Em polares isso dá
r\sin\theta = m r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \tan\theta = m.
Para a reta \,y=x tem-se \tan\theta = 1. A solução principal é \theta=\pi/4, mas como a região está no terceiro quadrante devemos pegar o ângulo correspondente em (\pi,3\pi/2), ou seja
\theta_{1} = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}.
Para \,y=3x temos \tan\theta = 3. A solução principal é \theta=\arctan(3) (no primeiro quadrante), então a solução no terceiro quadrante é
\theta_{2} = \pi + \arctan(3).
Como \arctan(3)>\pi/4, fica claro que \theta_{2}>\theta_{1}. Assim o ângulo varia entre
\frac{5\pi}{4} \le \theta \le \pi + \arctan(3).

Passo 5

Montar a integral em polares: usando \,dx\,dy = r\,dr\,d\theta e os limites encontrados, a integral fica
\iint_{D} 10\,dx\,dy = \int_{\theta=\frac{5\pi}{4}}^{\pi+\arctan(3)} \int_{r=1}^{\sqrt{3}} 10\, r \,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integração em r (a integral interna). Fazer passo a passo:
\int_{r=1}^{\sqrt{3}} 10\,r\,dr = 10\cdot\frac{1}{2}r^{2}\Big|_{1}^{\sqrt{3}} =5\big(r^{2}\big)\Big|_{1}^{\sqrt{3}} =5\big( (\sqrt{3})^{2} - 1^{2}\big) =5(3-1)=5\cdot 2=10.
Portanto a integral interna dá 10, e a integral reduz-se a uma integral em \theta apenas.

Passo 7

Calcular a integral em \theta (a integral externa):
\int_{\theta=\frac{5\pi}{4}}^{\pi+\arctan(3)} 10\,d\theta =10\Big(\pi+\arctan(3)-\frac{5\pi}{4}\Big) =10\Big(\arctan(3)-\frac{\pi}{4}\Big).
Essa é a forma fechada da resposta. Como verificação numérica rápida:
\arctan(3)\approx 1{,}249045772,\qquad \frac{\pi}{4}\approx 0{,}785398163,
logo a integral vale aproximadamente
10\cdot(1{,}249045772-0{,}785398163)\approx 4{,}63647609,
o que é consistente.

Resposta

10\left(\arctan(3)-\frac{\pi}{4}\right)

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