Exercício 41. Calcule \iint_{D} 10 d x d y, onde D é a região no terceiro quadrante limitada pelos círculos x^{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=3 e as retas y=x, y=3 x.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} 10\,dx\,dy,
onde D é a região no terceiro quadrante limitada pelos círculos \,x^{2}+y^{2}=1, \,x^{2}+y^{2}=3 e pelas retas \,y=x e \,y=3x.
Informações relevantes dadas:
As curvas radiais são os círculos \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=3.
As fronteiras angulares são as retas \,y=x e \,y=3x.
A região está no terceiro quadrante (ou seja, x<0 e y<0).
A função a integrar é a constante 10.
Passo 2
Escolha do método: como as fronteiras incluem círculos centrados na origem, é muito natural usar coordenadas polares. Vou explicar o básico das coordenadas polares para quem está começando:
Em coordenadas polares usa-se \,x=r\cos\theta e \,y=r\sin\theta, onde \,r\ge0 é a distância ao origem e \,\theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
O elemento de área em coordenadas polares é \,dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Isso aparece porque a pequena área é um setor circular aproximado de altura dr e comprimento angular r\,d\theta; o produto dá r\,dr\,d\theta. Esse fator r é o jacobiano da transformação.
Passo 3
Encontrar os limites radiais: as equações \,x^{2}+y^{2}=1 e \,x^{2}+y^{2}=3 ficam, em polares, simplesmente
Encontrar os limites angulares: as retas têm forma \,y = m x. Em polares isso dá
r\sin\theta = m r\cos\theta \quad\Rightarrow\quad \tan\theta = m.
Para a reta \,y=x tem-se \tan\theta = 1. A solução principal é \theta=\pi/4, mas como a região está no terceiro quadrante devemos pegar o ângulo correspondente em (\pi,3\pi/2), ou seja