Exercício 40 : Prove que,
\log _{a} b \cdot \log _{b} a=1

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\log_{a}b\cdot \log_{b}a = 1
nos casos em que a>0, a\neq1, b>0 e b\neq1. Vamos usar a definição de logaritmo como inversa da exponenciação.

Passo 2

Seja
x = \log_{a}b.
Pela definição de logaritmo, isso equivale a
a^{x} = b.

Passo 3

Seja
y = \log_{b}a.
Novamente, pela definição de logaritmo, isso significa
b^{y} = a.

Passo 4

Substituindo b = a^{x} em b^{y} = a, obtemos
(a^{x})^{y} = a \quad\Longrightarrow\quad a^{xy} = a.
Como a>0 e a\neq1, podemos igualar os expoentes e concluir
xy = 1.

Resposta

\log_{a}b\cdot \log_{b}a = 1.

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