Exercício 40 Escreva o sistema na forma matricial A x=b :
\left\{\begin{array}{l} 3 x-y+2 z=4 \\ x+4 y-z=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de duas equações com três incógnitas e pede para escrevê-lo na forma matricial A x = b\). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} 3x - y + 2z = 4,\\[4pt] x + 4y - z = 1. \end{cases}
O que se pede: representar esse sistema como produto de uma matriz de coeficientes A\] por um vetor de incógnitas \(x, igualando a um vetor coluna b com os termos independentes.]

Passo 2

Escolher uma ordem para as incógnitas. A escolha mais natural aqui é a ordem (x,y,z). Com essa ordem definimos o vetor coluna das incógnitas:
x=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Explicação didática: o vetor x tem uma entrada para cada incógnita, na mesma ordem que usarmos para ler os coeficientes nas linhas da matriz A.]

Passo 3

Construir a matriz de coeficientes A. Cada linha de A contém os coeficientes das incógnitas, na ordem (x,y,z), correspondendo a cada equação do sistema.
  • Na primeira equação 3x - y + 2z = 4 os coeficientes, na ordem (x,y,z), são 3,\,-1,\,2.
  • Na segunda equação x + 4y - z = 1 os coeficientes são 1,\,4,\,-1.
Portanto, a matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 4 & -1 \end{pmatrix}.
Didática sobre isso: a matriz A tem dimensão 2\times 3 (duas equações, três incógnitas). A entrada A_{ij} é o coeficiente da incógnita j-ésima na i-ésima equação.]

Passo 4

Construir o vetor dos termos independentes b. É um vetor coluna com os lados direitos de cada equação, na mesma ordem das equações:
  • Primeiro termo: 4 (da primeira equação).
  • Segundo termo: 1 (da segunda equação).
Assim
b=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificar que a multiplicação A x reproduz as equações originais (para entender por que a representação está correta). O produto A x é feito linha a linha: cada entrada do resultado é o produto escalar da linha correspondente de A pelo vetor x. Calculando:
A x= \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x - y + 2z\\[4pt] x + 4y - z \end{pmatrix}.
Isso coincide exatamente com o lado esquerdo do sistema dado; igualando ao vetor b obtemos o sistema original.]

Resposta

A=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2\\[4pt]1 & 4 & -1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

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