Exercício 40 - (ITA, 2017) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:
  1. a^(log c b)=b^(log c a)
  2. (ab)^log d c(bc)^log d a(ca)^log d b=1
  3. log a b(b c)=log a c
    é (são) verdadeira(s):
    a) apenas 1 .
    b) apenas 2 .
    c) apenas 1 e 2 .
    d) apenas 2 e 3 .
    e) todas.

Passo 1

O enunciado dá quatro reais positivos a,b,c,dneq1 e pede para verificar quais das três afirmações envolvendo logaritmos e potências são verdadeiras.

Passo 2

Analisando a afirmação 1:
a^(logcb) = b^(logca)
Usamos a mudança de base logcb = dfracln bln c. Então
a^logcb = expl(tfracln bln c,ln ar) = expl(tfracln a,ln bln cr)
e, do mesmo modo,
b^logca = expl(tfracln aln c,ln br) = expl(tfracln a,ln bln cr)
Portanto as duas expressões coincidem e a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação 2:
l(tfracabr)^logdc l(tfracbcr)^logda l(tfraccar)^logdb stackrel?=1
Tomamos logaritmo natural do produto:
ln(LHS) = 1ln dl[ln(a/b),ln c + ln(b/c),ln a + ln(c/a),ln br]
Desenvolvendo cada termo e somando, todos se cancelam, resultando em zero. Logo ln(LHS)=0 e a expressão vale 1. A afirmação 2 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação 3:
logab(bc) = logac ;Long<=ftrightarrow; ln b+ln cln a+ln b = ln cln a
Multiplicando em cruz obtém-se ln a,ln b = ln c,ln b, que exige ln a=ln c (ou b=1, mas bneq1). Logo a igualdade só vale se a=c, não valendo em geral. A afirmação 3 é falsa.

Passo 5

Das três, apenas as afirmações 1 e 2 são sempre verdadeiras.

Resposta

c) apenas 1 e 2.

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