Exercício 40 - (ITA, 2017) Sejam
números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:
-
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é (são) verdadeira(s):
a) apenas 1 .
b) apenas 2 .
c) apenas 1 e 2 .
d) apenas 2 e 3 .
e) todas.
é (são) verdadeira(s):
a) apenas 1 .
b) apenas 2 .
c) apenas 1 e 2 .
d) apenas 2 e 3 .
e) todas.
Passo 1
O enunciado dá quatro reais positivos
e pede para verificar quais das três afirmações envolvendo logaritmos e potências são verdadeiras.
Passo 2
Analisando a afirmação 1:
Usamos a mudança de base
. Então
e, do mesmo modo,
Portanto as duas expressões coincidem e a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação 2:
Tomamos logaritmo natural do produto:
Desenvolvendo cada termo e somando, todos se cancelam, resultando em zero. Logo
e a expressão vale 1. A afirmação 2 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 3:
Multiplicando em cruz obtém-se
, que exige
(ou
, mas
). Logo a igualdade só vale se
, não valendo em geral. A afirmação 3 é falsa.
Passo 5
Das três, apenas as afirmações 1 e 2 são sempre verdadeiras.
Resposta
c) apenas 1 e 2.