Exercício 40.
Se \operatorname{tg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) é um número racional (\alpha \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}), prove que \cos \alpha e sen \alpha são números racionais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (listei exatamente o que importa):
  • Sabemos que \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) é um número racional. Vou chamar esse número racional de t.
  • Está explícito que \alpha \neq k\pi para k\in\mathbb{Z} (isso garante que \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) está bem definida e finita).
    A pergunta que devemos responder é: provar que \cos\alpha e \sin\alpha são números racionais.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação que facilita manipular as fórmulas:
  • Defina t=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right). Por hipótese, t\in\mathbb{Q}.
  • Seja s=\sin\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) e c=\cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right).
    Pelo próprio significado da tangente,
t=\frac{s}{c}.

Passo 3

Lembrar e escrever as fórmulas que ligam \sin\alpha e \cos\alpha aos ângulos metade (fórmulas de ângulo duplo / produtos):
\sin\alpha = 2\sin\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=2sc,
\cos\alpha = \cos^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\!\left(\frac{\alpha}{2}\right)=c^2-s^2.
Estas são fórmulas básicas: a primeira vem de \sin(2x)=2\sin x\cos x com x=\dfrac{\alpha}{2}; a segunda vem de \cos(2x)=\cos^2 x-\sin^2 x.

Passo 4

Expressar s em função de c e t usando t=\dfrac{s}{c}. Assim
s = t c.
Substituindo em \sin\alpha e \cos\alpha obtemos expressões que ainda dependem de c:
\sin\alpha = 2 s c = 2(t c) c = 2t c^2,
\cos\alpha = c^2 - s^2 = c^2 - (t c)^2 = c^2(1-t^2).

Passo 5

Encontrar c^2 em função de t usando a identidade pitagórica s^2 + c^2 = 1. Substituindo s = t c dá:
(t c)^2 + c^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad c^2(t^2+1)=1 \quad\Rightarrow\quad c^2=\frac{1}{1+t^2}.
Note que 1+t^2>0 para todo t\in\mathbb{R}, portanto não há divisão por zero.

Passo 6

Agora substituir c^2=\dfrac{1}{1+t^2} nas expressões do Passo 4 para eliminar c e ficar só em função de t:
\sin\alpha = 2t c^2 = 2t\cdot\frac{1}{1+t^2} = \frac{2t}{1+t^2},
\cos\alpha = c^2(1-t^2)=\frac{1}{1+t^2}\,(1-t^2)=\frac{1-t^2}{1+t^2}.
Essas duas fórmulas são conhecidas como as fórmulas de “parametrização racional” por tangente do ângulo metade.

Passo 7

Concluir a racionalidade: por hipótese t\in\mathbb{Q}. As expressões \dfrac{2t}{1+t^2} e \dfrac{1-t^2}{1+t^2} são obtidas aplicando operações algébricas (adição, subtração, multiplicação e divisão por número não nulo) a t. O conjunto dos números racionais é fechado sob essas operações, logo ambas as frações são números racionais. Assim \sin\alpha e \cos\alpha são racionais.
Também verificar o caso degenerado: se t=0 então \sin\alpha=0 e \cos\alpha=1 (racionais). O caso em que \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) seria infinito corresponde a \alpha tal que \cos\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=0, isto é \alpha=(2k+1)\pi, mas esses valores estão excluídos por \alpha\neq k\pi, então não precisamos tratar tangente infinita.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se t=\dfrac{1}{2} (racional), então
\sin\alpha=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\tfrac{5}{4}}=\frac{4}{5},
\cos\alpha=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{5}{4}}=\frac{3}{5},
ambos racionais, como prometido. Isso também dá o par clássico (\cos\alpha,\sin\alpha)=\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right).

Resposta

\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2} com t=\operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right) e \sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}. Como t\in\mathbb{Q}, ambas são racionais.

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