Exercício 40.
Se
é um número racional
, prove que
e sen
são números racionais.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (listei exatamente o que importa):
- Sabemos que
é um número racional. Vou chamar esse número racional de . - Está explícito que
para (isso garante que está bem definida e finita).
A pergunta que devemos responder é: provar quee são números racionais.
Passo 2
Vamos introduzir uma notação que facilita manipular as fórmulas:
- Defina
. Por hipótese, . - Seja
e .
Pelo próprio significado da tangente,
Passo 3
Lembrar e escrever as fórmulas que ligam
e
aos ângulos metade (fórmulas de ângulo duplo / produtos):
Estas são fórmulas básicas: a primeira vem de
com
; a segunda vem de
.
Passo 4
Expressar
em função de
e
usando
. Assim
Substituindo em
e
obtemos expressões que ainda dependem de
:
Passo 5
Encontrar
em função de
usando a identidade pitagórica
. Substituindo
dá:
Note que
para todo
, portanto não há divisão por zero.
Passo 6
Agora substituir
nas expressões do Passo 4 para eliminar
e ficar só em função de
:
Essas duas fórmulas são conhecidas como as fórmulas de “parametrização racional” por tangente do ângulo metade.
Passo 7
Concluir a racionalidade: por hipótese
. As expressões
e
são obtidas aplicando operações algébricas (adição, subtração, multiplicação e divisão por número não nulo) a
. O conjunto dos números racionais é fechado sob essas operações, logo ambas as frações são números racionais. Assim
e
são racionais.
Também verificar o caso degenerado: se
então
e
(racionais). O caso em que
seria infinito corresponde a
tal que
, isto é
, mas esses valores estão excluídos por
, então não precisamos tratar tangente infinita.
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se
(racional), então
ambos racionais, como prometido. Isso também dá o par clássico
.