Exercício 40.
Prove que
.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- A variável
é um ângulo real. - A igualdade deve ser verificada para os valores de
em que ambos os lados estão definidos, isto é, onde (para ) e (para e ). Em outras palavras, excluir pontos em que haja divisão por zero.
Passo 2
Definições e convenções que vou usar (explicadas de forma direta):
-
significa a tangente de , definida como
desde que
.
-
significa a cossecante de , definida como
desde que
.
-
significa a cotangente de , definida como
desde que
.
Estas definições dizem que quando eu vir
eu posso reescrevê-la como
, e
como
.
Passo 3
Identidades de ângulo duplo que vamos usar (explicadas):
- A fórmula para o seno do dobro é
Isto vem da expansão
com
.
- A fórmula para o cosseno do dobro é
Também pode ser escrita de outras formas, por exemplo
ou
. Todas são equivalentes.
Vou usar essas duas formas quando for substituir
e
.
Passo 4
Transformar o lado direito da identidade usando as definições:
Como os dois termos têm o mesmo denominador
, podemos juntar:
Passo 5
Substituir as identidades de ângulo duplo no numerador e no denominador:
- Pelo que vimos,
. Então
- Desenvolvendo o parêntese:
- Mas
(identidade pitagórica). Portanto
- E o denominador, pela fórmula do seno do dobro, é
Passo 6
Substituindo esses resultados na fração obtida no Passo 4:
Agora simplifico fator a fator: o
cancela, e um fator
do numerador cancela com o do denominador, ficando
Pelo Passo 2 essa razão é exatamente a definição de tangente:
Passo 7
Conclusão didática e observação sobre domínio:
- Portanto, para todo
tal que e (para garantir que as expressões estejam definidas), vale
- Como reforço, um exemplo numérico rápido: para
temos . Do outro lado, e , então
coincidindo com
.