Exercício 40.
Prove que \operatorname{tg} x=\operatorname{cossec}(2 x)-\operatorname{cotg}(2 x).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\operatorname{tg} x = \operatorname{cossec}(2x) - \operatorname{cotg}(2x).
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
  • A variável x é um ângulo real.
  • A igualdade deve ser verificada para os valores de x em que ambos os lados estão definidos, isto é, onde \cos x \neq 0 (para \operatorname{tg} x) e \sin(2x)\neq 0 (para \operatorname{cossec}(2x) e \operatorname{cotg}(2x)). Em outras palavras, excluir pontos em que haja divisão por zero.

Passo 2

Definições e convenções que vou usar (explicadas de forma direta):
  • \operatorname{tg} x significa a tangente de x, definida como
\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x},
desde que \cos x \neq 0.
  • \operatorname{cossec} y significa a cossecante de y, definida como
\operatorname{cossec} y = \frac{1}{\sin y},
desde que \sin y \neq 0.
  • \operatorname{cotg} y significa a cotangente de y, definida como
\operatorname{cotg} y = \frac{\cos y}{\sin y},
desde que \sin y \neq 0.
Estas definições dizem que quando eu vir \operatorname{cossec}(2x) eu posso reescrevê-la como 1/\sin(2x), e \operatorname{cotg}(2x) como \cos(2x)/\sin(2x).

Passo 3

Identidades de ângulo duplo que vamos usar (explicadas):
  • A fórmula para o seno do dobro é
\sin(2x) = 2\sin x\cos x.
Isto vem da expansão \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b com a=b=x.
  • A fórmula para o cosseno do dobro é
\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.
Também pode ser escrita de outras formas, por exemplo \cos(2x)=1-2\sin^2 x ou \cos(2x)=2\cos^2 x-1. Todas são equivalentes.
Vou usar essas duas formas quando for substituir \sin(2x) e \cos(2x).

Passo 4

Transformar o lado direito da identidade usando as definições:
\operatorname{cossec}(2x)-\operatorname{cotg}(2x) = \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}.
Como os dois termos têm o mesmo denominador \sin(2x), podemos juntar:
\operatorname{cossec}(2x)-\operatorname{cotg}(2x) = \frac{1 - \cos(2x)}{\sin(2x)}.

Passo 5

Substituir as identidades de ângulo duplo no numerador e no denominador:
  • Pelo que vimos, \cos(2x)=\cos^2 x - \sin^2 x. Então
1 - \cos(2x) = 1 - (\cos^2 x - \sin^2 x).
  • Desenvolvendo o parêntese:
1 - \cos(2x) = 1 - \cos^2 x + \sin^2 x.
  • Mas 1 - \cos^2 x = \sin^2 x (identidade pitagórica). Portanto
1 - \cos(2x) = \sin^2 x + \sin^2 x = 2\sin^2 x.
  • E o denominador, pela fórmula do seno do dobro, é
\sin(2x) = 2\sin x\cos x.

Passo 6

Substituindo esses resultados na fração obtida no Passo 4:
\operatorname{cossec}(2x)-\operatorname{cotg}(2x) = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x}.
Agora simplifico fator a fator: o 2 cancela, e um fator \sin x do numerador cancela com o do denominador, ficando
\operatorname{cossec}(2x)-\operatorname{cotg}(2x) = \frac{\sin x}{\cos x}.
Pelo Passo 2 essa razão é exatamente a definição de tangente:
\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x.

Passo 7

Conclusão didática e observação sobre domínio:
  • Portanto, para todo x tal que \cos x \neq 0 e \sin(2x)\neq 0 (para garantir que as expressões estejam definidas), vale
\operatorname{tg} x = \operatorname{cossec}(2x) - \operatorname{cotg}(2x).
  • Como reforço, um exemplo numérico rápido: para x=\dfrac{\pi}{6} temos \operatorname{tg}(\pi/6)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Do outro lado, \sin(2x)=\sin(\pi/3)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos(2x)=\cos(\pi/3)=\dfrac{1}{2}, então
\operatorname{cossec}(2x)-\operatorname{cotg}(2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},
coincidindo com \operatorname{tg}(\pi/6).

Resposta

\operatorname{tg} x = \operatorname{cossec}(2x) - \operatorname{cotg}(2x)

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