Exercício 3.44. Calcule k, \tau, \vec{T}, \vec{N} e \vec{B} para cada uma das seguintes curvas e verifique que as equações de Frenet-Serret são satisfeitas: \vec{r}(t)=\left(\frac{4}{5} \cos t, 1-\operatorname{sen} t, \frac{3}{5} \cos t\right).
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: calcular k (curvatura), \tau (torção), \vec{T} (vetor tangente unitário), \vec{N} (vetor normal principal) e \vec{B} (vetor binormal) para a curva
Também pede verificar que as equações de Frenet–Serret são satisfeitas para essa curva.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
A curva paramétrica é \vec{r}(t) acima, definida para t real.
Não há outra condição extra no enunciado (por exemplo, domínio restrito); portanto assumimos t\in\mathbb{R}.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras necessárias. Vou escrever cada derivada e explicar por que precisamos delas.
Cálculo de \vec{r}'(t), \vec{r}''(t) e \vec{r}'''(t):
\kappa pode ser obtida por \kappa=\dfrac{|\vec{r}'\times\vec{r}''|}{|\vec{r}'|^3};
\tau pode ser obtida por \tau=\dfrac{(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''}{|\vec{r}'\times\vec{r}''|^2};
\vec{N} pode ser obtido por \vec{N}=\dfrac{\vec{T}'}{|\vec{T}'|} (ou, para velocidade unitária, \vec{N}=\dfrac{\vec{r}''}{|\vec{r}''|} quando aplicável).
Passo 3
Calcular a velocidade (módulo de \vec{r}') e observar se a parametrização é por comprimento de arco (isso simplifica muito).
Logo |\vec{r}'(t)|=1 para todo t. Ou seja, a curva está parametrizada por comprimento de arco (velocidade unitária). Isso facilita as fórmulas: quando |\vec{r}'|=1 temos \vec{T}=\vec{r}' e \kappa=|\vec{T}'|=|\vec{r}''|.
Passo 4
Calcular a curvatura \kappa (usando produto vetorial) e explicar a fórmula.
Componente \mathbf{j}: sinal trocado: -\big( (-\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t)(- \tfrac{3}{5}\cos t) - (-\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t)(- \tfrac{4}{5}\cos t)\big). Cada produto é \tfrac{12}{25}\operatorname{sen}t\cos t, a diferença é zero, logo componente \mathbf{j}=0.
Comentário didático: a curvatura mede quão rápido a direção da tangente muda com relação ao comprimento de arco. Aqui o valor constante \kappa=1 indica mesma “curvatura” em todo ponto.]
Passo 5
Calcular o vetor tangente unitário \vec{T} e o vetor normal principal \vec{N}.
Para \vec{N}, em parametrização por comprimento de arco temos \vec{N}=\dfrac{\vec{T}'}{|\vec{T}'|}. Mas \vec{T}'=\vec{r}'' e já vimos que |\vec{r}''|=1 (porque cálculo análogo ao de |\vec{r}'| dá 1). Então \vec{N}=\vec{r}''. Assim
Note que \vec{B} é constante (não depende de t); isso significa que a curva é plana (um plano normal fixo) e que a torção será zero. Vamos confirmar calculando \tau.
Fórmula para a torção (para parametrização qualquer):
Substituindo o que já temos: \vec{r}'\times\vec{r}''=(\tfrac{3}{5},0,-\tfrac{4}{5}) e |\vec{r}'\times\vec{r}''|=1. Então basta o produto escalar com \vec{r}''':
\dfrac{d\vec{T}}{dt}=\vec{T}'=\vec{r}''=\vec{N}. Como \kappa=1, o lado direito é 1\cdot\vec{N}=\vec{N}. Logo a primeira equação é satisfeita.
\dfrac{d\vec{N}}{dt}=\vec{N}'=\vec{r}'''=\left(\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,\; \cos t,\; \tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right).
E -\kappa\,\vec{T}+\tau\,\vec{B}=-1\cdot\vec{T}+0\cdot\vec{B}=-\vec{T}=\left(\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,\; \cos t,\; \tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right),
porque \vec{T}=\left(-\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,-\cos t,-\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right). Assim a segunda equação é satisfeita.
\dfrac{d\vec{B}}{dt}=0 (pois \vec{B} é constante). E o lado direito é -\tau\,\vec{N}=0 (porque \tau=0). Então a terceira equação é satisfeita.
Portanto todas as equações de Frenet–Serret são verificadas.