Exercício 3.44. Calcule k, \tau, \vec{T}, \vec{N} e \vec{B} para cada uma das seguintes curvas e verifique que as equações de Frenet-Serret são satisfeitas:
\vec{r}(t)=\left(\frac{4}{5} \cos t, 1-\operatorname{sen} t, \frac{3}{5} \cos t\right).

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: calcular k (curvatura), \tau (torção), \vec{T} (vetor tangente unitário), \vec{N} (vetor normal principal) e \vec{B} (vetor binormal) para a curva
\vec{r}(t)=\left(\frac{4}{5}\cos t,\;1-\operatorname{sen} t,\;\frac{3}{5}\cos t\right).
Também pede verificar que as equações de Frenet–Serret são satisfeitas para essa curva.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • A curva paramétrica é \vec{r}(t) acima, definida para t real.
  • Não há outra condição extra no enunciado (por exemplo, domínio restrito); portanto assumimos t\in\mathbb{R}.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas primeiras, segundas e terceiras necessárias. Vou escrever cada derivada e explicar por que precisamos delas.
Cálculo de \vec{r}'(t), \vec{r}''(t) e \vec{r}'''(t):
\vec{r}'(t)=\left(-\frac{4}{5}\operatorname{sen} t,\; -\cos t,\; -\frac{3}{5}\operatorname{sen} t\right).
\vec{r}''(t)=\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \operatorname{sen} t,\; -\frac{3}{5}\cos t\right).
\vec{r}'''(t)=\left(\frac{4}{5}\operatorname{sen} t,\; \cos t,\; \frac{3}{5}\operatorname{sen} t\right).
Por que estas derivadas? Porque:
  • \vec{T} usa \vec{r}' (normalizado);
  • \kappa pode ser obtida por \kappa=\dfrac{|\vec{r}'\times\vec{r}''|}{|\vec{r}'|^3};
  • \tau pode ser obtida por \tau=\dfrac{(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''}{|\vec{r}'\times\vec{r}''|^2};
  • \vec{N} pode ser obtido por \vec{N}=\dfrac{\vec{T}'}{|\vec{T}'|} (ou, para velocidade unitária, \vec{N}=\dfrac{\vec{r}''}{|\vec{r}''|} quando aplicável).

Passo 3

Calcular a velocidade (módulo de \vec{r}') e observar se a parametrização é por comprimento de arco (isso simplifica muito).
Calculemos |\vec{r}'(t)|^2:
|\vec{r}'(t)|^2=\left(-\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t\right)^2+(-\cos t)^2+\left(-\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right)^2
=\frac{16}{25}\operatorname{sen}^2t+\cos^2t+\frac{9}{25}\operatorname{sen}^2t =\frac{25}{25}\operatorname{sen}^2t+\cos^2t =\operatorname{sen}^2t+\cos^2t=1.
Logo |\vec{r}'(t)|=1 para todo t. Ou seja, a curva está parametrizada por comprimento de arco (velocidade unitária). Isso facilita as fórmulas: quando |\vec{r}'|=1 temos \vec{T}=\vec{r}' e \kappa=|\vec{T}'|=|\vec{r}''|.

Passo 4

Calcular a curvatura \kappa (usando produto vetorial) e explicar a fórmula.
Fórmula que vamos usar (válida em geral):
\kappa=\frac{|\vec{r}'\times\vec{r}''|}{|\vec{r}'|^3}.
Como |\vec{r}'|=1, isso vira \kappa=|\vec{r}'\times\vec{r}''|.
Calculemos \vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t). Usando determinante:
\vec{r}'\times\vec{r}''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t & -\cos t & -\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t \\[4pt] -\tfrac{4}{5}\cos t & \operatorname{sen}t & -\tfrac{3}{5}\cos t \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente (mostrando contas):
  • Componente \mathbf{i}: (- \cos t)(- \tfrac{3}{5}\cos t) - \left(-\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right)\left(\operatorname{sen}t\right) = \tfrac{3}{5}\cos^2t - \left(-\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}^2t\right) = \tfrac{3}{5}(\cos^2t+\operatorname{sen}^2t)=\tfrac{3}{5}.
  • Componente \mathbf{j}: sinal trocado: -\big( (-\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t)(- \tfrac{3}{5}\cos t) - (-\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t)(- \tfrac{4}{5}\cos t)\big). Cada produto é \tfrac{12}{25}\operatorname{sen}t\cos t, a diferença é zero, logo componente \mathbf{j}=0.
  • Componente \mathbf{k}: (- \tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t)(\operatorname{sen}t)-(-\cos t)(- \tfrac{4}{5}\cos t) = -\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}^2t - \tfrac{4}{5}\cos^2t = -\tfrac{4}{5}(\operatorname{sen}^2t+\cos^2t) = -\tfrac{4}{5}.
Portanto
\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)=\left(\tfrac{3}{5},\;0,\; -\tfrac{4}{5}\right).
O módulo desse vetor é
\left|\vec{r}'\times\vec{r}''\right|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^2+0^2+\left(-\tfrac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\tfrac{9+16}{25}}=\sqrt{1}=1.
Assim, a curvatura é
\kappa=1.
Comentário didático: a curvatura mede quão rápido a direção da tangente muda com relação ao comprimento de arco. Aqui o valor constante \kappa=1 indica mesma “curvatura” em todo ponto.]

Passo 5

Calcular o vetor tangente unitário \vec{T} e o vetor normal principal \vec{N}.
Como |\vec{r}'|=1, imediatamente
\vec{T}(t)=\vec{r}'(t)=\left(-\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,\; -\cos t,\; -\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right).
Para \vec{N}, em parametrização por comprimento de arco temos \vec{N}=\dfrac{\vec{T}'}{|\vec{T}'|}. Mas \vec{T}'=\vec{r}'' e já vimos que |\vec{r}''|=1 (porque cálculo análogo ao de |\vec{r}'| dá 1). Então \vec{N}=\vec{r}''. Assim
\vec{N}(t)=\vec{r}''(t)=\left(-\tfrac{4}{5}\cos t,\; \operatorname{sen}t,\; -\tfrac{3}{5}\cos t\right).
Observação: aqui |\vec{T}'|=\kappa=1, consistente com os cálculos anteriores.

Passo 6

Calcular o vetor binormal \vec{B} e a torção \tau.
Definição do binormal:
\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{r}'\times\vec{r}''.
Já calculamos \vec{r}'\times\vec{r}'' no Passo 4; portanto
\vec{B}(t)=\left(\tfrac{3}{5},\;0,\; -\tfrac{4}{5}\right).
Note que \vec{B} é constante (não depende de t); isso significa que a curva é plana (um plano normal fixo) e que a torção será zero. Vamos confirmar calculando \tau.
Fórmula para a torção (para parametrização qualquer):
\tau=\frac{(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''}{|\vec{r}'\times\vec{r}''|^2}.
Substituindo o que já temos: \vec{r}'\times\vec{r}''=(\tfrac{3}{5},0,-\tfrac{4}{5}) e |\vec{r}'\times\vec{r}''|=1. Então basta o produto escalar com \vec{r}''':
(\vec{r}'\times\vec{r}'')\cdot\vec{r}'''= \left(\tfrac{3}{5}\right)\left(\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t\right)+0\cdot\cos t+\left(-\tfrac{4}{5}\right)\left(\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right)
=\tfrac{12}{25}\operatorname{sen}t-\tfrac{12}{25}\operatorname{sen}t=0.
Portanto
\tau=0.
Interpretação rápida: torção zero confirma que a curva está contida em um plano e que \vec{B} é constante.

Passo 7

Verificação das equações de Frenet–Serret (na forma paramétrica com t e velocidade v=|\vec{r}'|=1).
As equações que vamos verificar são, para velocidade unitária:
\frac{d\vec{T}}{dt}=\kappa\,\vec{N}, \qquad \frac{d\vec{N}}{dt}=-\kappa\,\vec{T}+\tau\,\vec{B}, \qquad \frac{d\vec{B}}{dt}=-\tau\,\vec{N}.
Calculemos os lados esquerdo e direito:
  • \dfrac{d\vec{T}}{dt}=\vec{T}'=\vec{r}''=\vec{N}. Como \kappa=1, o lado direito é 1\cdot\vec{N}=\vec{N}. Logo a primeira equação é satisfeita.
  • \dfrac{d\vec{N}}{dt}=\vec{N}'=\vec{r}'''=\left(\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,\; \cos t,\; \tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right).
    E -\kappa\,\vec{T}+\tau\,\vec{B}=-1\cdot\vec{T}+0\cdot\vec{B}=-\vec{T}=\left(\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,\; \cos t,\; \tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right),
    porque \vec{T}=\left(-\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,-\cos t,-\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right). Assim a segunda equação é satisfeita.
  • \dfrac{d\vec{B}}{dt}=0 (pois \vec{B} é constante). E o lado direito é -\tau\,\vec{N}=0 (porque \tau=0). Então a terceira equação é satisfeita.
Portanto todas as equações de Frenet–Serret são verificadas.

Resposta

\kappa=1
\tau=0
\displaystyle \vec{T}(t)=\left(-\tfrac{4}{5}\operatorname{sen}t,\; -\cos t,\; -\tfrac{3}{5}\operatorname{sen}t\right)
\displaystyle \vec{N}(t)=\left(-\tfrac{4}{5}\cos t,\; \operatorname{sen}t,\; -\tfrac{3}{5}\cos t\right)
\displaystyle \vec{B}(t)=\left(\tfrac{3}{5},\;0,\; -\tfrac{4}{5}\right)

Exercícios relacionados