Exercício 3.48. Considere a curva \vec{r}(t)=\left(\cos t,-\operatorname{sen} t, 2 t^{2}\right),-10<t<10. Demonstre que para t<0 a torção é positiva e para t>0 a torção é negativa.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\vec{r}(t)=\big(\cos t,\; -\sin t,\; 2t^{2}\big),\qquad -10<t<10,
e pede para demonstrar que a torção é positiva quando t<0 e negativa quando t>0.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • A função vetor \vec{r}(t) tem três componentes: a primeira é \cos t, a segunda é -\sin t e a terceira é 2t^{2}.
  • O domínio inclui t=0 e valores positivos e negativos de t.
  • É preciso calcular a torção \tau(t) e analisar seu sinal para t<0 e para t>0.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula que usaremos e explicar o que cada termo significa.
Para uma curva regular em \mathbb{R}^{3} com derivadas suficientes vezes diferenciáveis, a torção \tau(t) pode ser calculada por
\tau(t)=\frac{\big(\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\big)\cdot\vec{r}'''(t)}{\big\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\big\|^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{r}'(t) é a derivada primeira (vetor velocidade).
  • \vec{r}''(t) é a derivada segunda (vetor aceleração).
  • \vec{r}'''(t) é a derivada terceira.
  • \times é o produto vetorial: produz um vetor perpendicular aos dois vetores.
  • \cdot é o produto escalar (dot product).
  • \|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor; \|\cdot\|^{2} é o quadrado da norma.
  • O numerador \big(\vec{r}'\times\vec{r}''\big)\cdot\vec{r}''' é o produto misto (triple product) e pode ser interpretado como o volume orientado do par formado por \vec{r}', \vec{r}'' e \vec{r}'''. O denominador é sempre positivo (é o quadrado de uma norma), então o sinal de \tau vem do numerador.
Vamos então calcular \vec{r}', \vec{r}'', \vec{r}''', o produto vetorial e o produto misto passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes, uma por uma.
Derivando \vec{r}(t)=\big(\cos t,\; -\sin t,\; 2t^{2}\big) obtemos:
\vec{r}'(t)=\big(-\sin t,\; -\cos t,\; 4t\big).
Derivando novamente:
\vec{r}''(t)=\big(-\cos t,\; \sin t,\; 4\big).
Derivando pela terceira vez:
\vec{r}'''(t)=\big(\sin t,\; \cos t,\; 0\big).
(Usei as regras usuais: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t, e \dfrac{d}{dt}(2t^{2})=4t, \dfrac{d^{2}}{dt^{2}}(2t^{2})=4.)

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t). Usando a forma determinantal,
\vec{r}'\times\vec{r}''= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] -\sin t & -\cos t & 4t \\[4pt] -\cos t & \sin t & 4 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente em \mathbf{i}:
(-\cos t)\cdot 4 - (4t)\cdot(\sin t)= -4\cos t - 4t\sin t.
  • Componente em \mathbf{j} (lembrando o sinal negativo ao expandir):
-\big[(-\sin t)\cdot 4 - (4t)\cdot(-\cos t)\big] = -\big(-4\sin t + 4t\cos t\big) = 4\sin t - 4t\cos t.
  • Componente em \mathbf{k}:
(-\sin t)\cdot(\sin t) - (-\cos t)\cdot(-\cos t) = -\sin^{2}t - \cos^{2}t = -1.
Portanto
\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)=\big(-4\cos t - 4t\sin t,\; 4\sin t - 4t\cos t,\; -1\big).]

Passo 5

Calcular o numerador do quociente da torção, ou seja o produto misto \big(\vec{r}'\times\vec{r}''\big)\cdot\vec{r}'''.
Como \vec{r}'''(t)=\big(\sin t,\cos t,0\big), fazemos o produto escalar componente a componente:
\begin{aligned} \big(\vec{r}'\times\vec{r}''\big)\cdot\vec{r}''' &= \big(-4\cos t - 4t\sin t\big)\,\sin t \\\ &\qquad +\big(4\sin t - 4t\cos t\big)\,\cos t \\\ &\qquad +(-1)\cdot 0. \end{aligned}
Agora simplificando termo a termo:
\begin{aligned} &\big(-4\cos t\big)\sin t +\big(-4t\sin t\big)\sin t + \big(4\sin t\big)\cos t + \big(-4t\cos t\big)\cos t \\\ &= -4\sin t\cos t -4t\sin^{2}t +4\sin t\cos t -4t\cos^{2}t. \end{aligned}
Os termos -4\sin t\cos t e +4\sin t\cos t cancelam, sobrando
-4t\big(\sin^{2}t + \cos^{2}t\big) = -4t\cdot 1 = -4t.
Portanto o numerador é
\big(\vec{r}'\times\vec{r}''\big)\cdot\vec{r}''' = -4t.

Passo 6

Calcular o denominador \big\|\vec{r}'\times\vec{r}''\big\|^{2}, ou seja a soma dos quadrados das componentes do produto vetorial.
As componentes eram A_{1}=-4\cos t - 4t\sin t, A_{2}=4\sin t - 4t\cos t, A_{3}=-1. Então
\begin{aligned} \big\|\vec{r}'\times\vec{r}''\big\|^{2} &= A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2} \\\ &= \big(-4\cos t - 4t\sin t\big)^{2} + \big(4\sin t - 4t\cos t\big)^{2} + (-1)^{2}. \end{aligned}
Expandindo com cuidado (e usando \sin^{2}t+\cos^{2}t=1):
\begin{aligned} A_{1}^{2}+A_{2}^{2} &= 16\cos^{2}t + 32t\sin t\cos t + 16t^{2}\sin^{2}t \\\ &\quad + 16\sin^{2}t - 32t\sin t\cos t + 16t^{2}\cos^{2}t \\\ &= 16(\cos^{2}t+\sin^{2}t) + 16t^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t) \\\ &= 16 + 16t^{2}. \end{aligned}
Somando A_{3}^{2}=1 obtemos
\big\|\vec{r}'\times\vec{r}''\big\|^{2}=16+16t^{2}+1 = 17 + 16t^{2}.
Note que 17+16t^{2}>0 para todo t.

Passo 7

Agora juntamos numerador e denominador na fórmula da torção:
\tau(t)=\frac{-4t}{\,17+16t^{2}\,}.
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de \tau(t) é o do numerador -4t. Assim:
  • Se t<0 então -4t>0, logo \tau(t)>0.
  • Se t>0 então -4t<0, logo \tau(t)<0.
    (Para t=0 tem-se \tau(0)=0.)
Uma observação final e motivadora: foi ótimo ver que a expressão simplificou bastante — o termo trigonométrico desapareceu no numerador por cancelamentos elegantes, ficando apenas uma dependência linear em t. Isso facilita totalmente a análise do sinal.

Resposta

\tau(t)=\frac{-4t}{\,17+16t^{2}\,}
Para t<0: \tau(t)>0.\
Para t>0: \tau(t)<0.

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