Exercício 3.48. Considere a curva \vec{r}(t)=\left(\cos t,-\operatorname{sen} t, 2 t^{2}\right),-10<t<10. Demonstre que para t<0 a torção é positiva e para t>0 a torção é negativa.
\vec{r}'(t) é a derivada primeira (vetor velocidade).
\vec{r}''(t) é a derivada segunda (vetor aceleração).
\vec{r}'''(t) é a derivada terceira.
\times é o produto vetorial: produz um vetor perpendicular aos dois vetores.
\cdot é o produto escalar (dot product).
\|\cdot\| é a norma (módulo) do vetor; \|\cdot\|^{2} é o quadrado da norma.
O numerador \big(\vec{r}'\times\vec{r}''\big)\cdot\vec{r}''' é o produto misto (triple product) e pode ser interpretado como o volume orientado do par formado por \vec{r}', \vec{r}'' e \vec{r}'''. O denominador é sempre positivo (é o quadrado de uma norma), então o sinal de \tau vem do numerador.
Vamos então calcular \vec{r}', \vec{r}'', \vec{r}''', o produto vetorial e o produto misto passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes, uma por uma.
\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)=\big(-4\cos t - 4t\sin t,\; 4\sin t - 4t\cos t,\; -1\big).]
Passo 5
Calcular o numerador do quociente da torção, ou seja o produto misto \big(\vec{r}'\times\vec{r}''\big)\cdot\vec{r}'''.
Como \vec{r}'''(t)=\big(\sin t,\cos t,0\big), fazemos o produto escalar componente a componente:
\begin{aligned} \big(\vec{r}'\times\vec{r}''\big)\cdot\vec{r}''' &= \big(-4\cos t - 4t\sin t\big)\,\sin t \\\ &\qquad +\big(4\sin t - 4t\cos t\big)\,\cos t \\\ &\qquad +(-1)\cdot 0. \end{aligned}
Agora simplificando termo a termo:
\begin{aligned} &\big(-4\cos t\big)\sin t +\big(-4t\sin t\big)\sin t + \big(4\sin t\big)\cos t + \big(-4t\cos t\big)\cos t \\\ &= -4\sin t\cos t -4t\sin^{2}t +4\sin t\cos t -4t\cos^{2}t. \end{aligned}
Os termos -4\sin t\cos t e +4\sin t\cos t cancelam, sobrando
Agora juntamos numerador e denominador na fórmula da torção:
\tau(t)=\frac{-4t}{\,17+16t^{2}\,}.
Como o denominador é sempre positivo, o sinal de \tau(t) é o do numerador -4t. Assim:
Se t<0 então -4t>0, logo \tau(t)>0.
Se t>0 então -4t<0, logo \tau(t)<0.
(Para t=0 tem-se \tau(0)=0.)
Uma observação final e motivadora: foi ótimo ver que a expressão simplificou bastante — o termo trigonométrico desapareceu no numerador por cancelamentos elegantes, ficando apenas uma dependência linear em t. Isso facilita totalmente a análise do sinal.