Exercício 44 Use retrosubstituição (substituição de baixo para cima) para resolver cada um dos sistemas a seguir.

\left{ \begin{array}{rrrrrrrr} x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & + & x_{5} & = & 5 \\ & & 2 x_{2} & + & x_{3} & - & 2 x_{4} & + & x_{5} & = & 1 \\ & & & & 4 x_{3} & + & x_{4} & - & 2 x_{5} & = & -1 \\ & & & & & & x_{4} & - & 3 x_{5} & = & 4 \\ & & & & & & & & 2 x_{5} & = & 6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de cinco equações com cinco incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\). Vou listar claramente as equações (copiadas do enunciado), e o que é pedido: \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=5,\\[4pt] 2x_{2}+x_{3}-2x_{4}+x_{5}=1,\\[4pt] 4x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1,\\[4pt] x_{4}-3x_{5}=4,\\[4pt] 2x_{5}=6. \end{cases}
O que o exercício pede: encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}] que satisfazem todas as equações simultaneamente. O enunciado já indica o método a usar: retrosubstituição (substituição de baixo para cima). Nada mais é pedido além de resolver o sistema.]

Passo 2

Explicando rapidamente o que vamos fazer de forma prática: como a última equação envolve apenas x_{5}, podemos resolver x_{5} diretamente; em seguida, usamos esse valor na equação acima para achar x_{4}; continuamos “subindo” resolvendo cada variável que estiver isolada ou facilmente isolável depois de substituir as que já conhecemos. Isso é a retrosubstituição. Agora vamos executar o primeiro passo concreto: resolver a última equação para x_{5}.
A quinta equação é
2x_{5}=6.
Para isolar x_{5} dividimos ambos os lados por 2. Isso é uma operação válida porque 2\neq 0. Assim,
x_{5}=\frac{6}{2}=3.

Passo 3

Agora que sabemos \,x_{5}=3, usamos a quarta equação para encontrar x_{4}. A quarta equação é
x_{4}-3x_{5}=4.
Substituímos x_{5}=3 e resolvemos para x_{4}:
x_{4}-3\cdot 3=4.
Calcule o produto 3\cdot 3:
x_{4}-9=4.
Isolando x_{4} somamos 9 em ambos os lados:
x_{4}=4+9=13.

Passo 4

Com x_{5}=3 e x_{4}=13 em mãos, vamos à terceira equação para achar x_{3}. A terceira equação é
4x_{3}+x_{4}-2x_{5}=-1.
Substituindo x_{4}=13 e x_{5}=3:
4x_{3}+13-2\cdot 3=-1.
Calcule 2\cdot 3:
4x_{3}+13-6=-1.
Some 13-6:
4x_{3}+7=-1.
Agora isolamos x_{3}: subtraímos 7 de ambos os lados
4x_{3}=-1-7=-8.
Dividimos ambos os lados por 4:
x_{3}=\frac{-8}{4}=-2.

Passo 5

Agora encontramos x_{2} usando a segunda equação. A segunda equação é
2x_{2}+x_{3}-2x_{4}+x_{5}=1.
Substituímos os valores já conhecidos x_{3}=-2, x_{4}=13, x_{5}=3:
2x_{2}+(-2)-2\cdot 13 +3 =1.
Calcule os produtos e some os termos constantes passo a passo: -2\cdot 13=-26. Então
2x_{2}-2-26+3=1.
Agora some os constantes -2-26+3. Primeiro -2-26=-28, depois -28+3=-25. Assim
2x_{2}-25=1.
Isolando x_{2} somamos 25 aos dois lados:
2x_{2}=1+25=26.
Dividindo por 2:
x_{2}=\frac{26}{2}=13.

Passo 6

Finalmente encontramos x_{1} usando a primeira equação:
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=5.
Substituímos x_{2}=13, x_{3}=-2, x_{4}=13, x_{5}=3:
x_{1}+13+(-2)+13+3=5.
Some os termos constantes passo a passo: 13+(-2)=11; 11+13=24; 24+3=27. Então
x_{1}+27=5.
Isolando x_{1} subtraímos 27 de ambos os lados:
x_{1}=5-27=-22.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): substituir todos os valores encontrados nas equações originais para checar que todas ficam verdadeiras.
  • Equação 5: 2x_{5}=2\cdot 3=6 — ok.
  • Equação 4: x_{4}-3x_{5}=13-3\cdot 3=13-9=4 — ok.
  • Equação 3: 4x_{3}+x_{4}-2x_{5}=4\cdot(-2)+13-2\cdot 3=-8+13-6=-1 — ok.
  • Equação 2: 2x_{2}+x_{3}-2x_{4}+x_{5}=2\cdot 13+(-2)-2\cdot 13+3=26-2-26+3=1 — ok.
  • Equação 1: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-22+13-2+13+3=5 — ok.
Todas as equações são satisfeitas; solução conferida.

Resposta

x_{1}=-22
x_{2}=13
x_{3}=-2
x_{4}=13
x_{5}=3

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