Exercício 44 Use retrosubstituição (substituição de baixo para cima) para resolver cada um dos sistemas a seguir.
\left{
\right.
\left{
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear de cinco equações com cinco incógnitas
O que o exercício pede: encontrar os valores de (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}] que satisfazem todas as equações simultaneamente. O enunciado já indica o método a usar: retrosubstituição (substituição de baixo para cima). Nada mais é pedido além de resolver o sistema.]
Passo 2
Explicando rapidamente o que vamos fazer de forma prática: como a última equação envolve apenas
, podemos resolver
diretamente; em seguida, usamos esse valor na equação acima para achar
; continuamos “subindo” resolvendo cada variável que estiver isolada ou facilmente isolável depois de substituir as que já conhecemos. Isso é a retrosubstituição. Agora vamos executar o primeiro passo concreto: resolver a última equação para
.
A quinta equação é
Para isolar
dividimos ambos os lados por
. Isso é uma operação válida porque
. Assim,
Passo 3
Agora que sabemos
, usamos a quarta equação para encontrar
. A quarta equação é
Substituímos
e resolvemos para
:
Calcule o produto
:
Isolando
somamos
em ambos os lados:
Passo 4
Com
e
em mãos, vamos à terceira equação para achar
. A terceira equação é
Substituindo
e
:
Calcule
:
Some
:
Agora isolamos
: subtraímos
de ambos os lados
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora encontramos
usando a segunda equação. A segunda equação é
Substituímos os valores já conhecidos
,
,
:
Calcule os produtos e some os termos constantes passo a passo:
. Então
Agora some os constantes
. Primeiro
, depois
. Assim
Isolando
somamos
aos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 6
Finalmente encontramos
usando a primeira equação:
Substituímos
,
,
,
:
Some os termos constantes passo a passo:
;
;
. Então
Isolando
subtraímos
de ambos os lados:
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): substituir todos os valores encontrados nas equações originais para checar que todas ficam verdadeiras.
- Equação 5:
— ok. - Equação 4:
— ok. - Equação 3:
— ok. - Equação 2:
— ok. - Equação 1:
— ok.
Todas as equações são satisfeitas; solução conferida.