Exercício 46. Determine as primitivas das funções abaixo:
\quad \int 3^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de \int 3^{2x}\,dx. O conteúdo aqui é a integração de uma função exponencial de base 3. Vamos usar a fórmula
\int a^u\,du = \frac{a^u}{\ln(a)} + C.

Passo 2

Para aplicar essa fórmula, fazemos a substituição u = 2x. Então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Isso transforma a integral em
\int 3^{2x}\,dx = \int 3^u \,\frac{du}{2} = \frac12 \int 3^u\,du.

Passo 3

Agora aplicamos diretamente \int 3^u\,du = 3^u/\ln(3). Logo,
\frac12 \int 3^u\,du = \frac12 \cdot \frac{3^u}{\ln(3)} + C = \frac{3^u}{2\,\ln(3)} + C.

Passo 4

Por fim, voltamos à variável x usando u=2x. Assim, uma primitiva é
F(x) = \frac{3^{2x}}{2\,\ln(3)} + C.

Resposta

\frac{3^{2x}}{2\,\ln(3)} + C

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