Exercício 49 - (ITA, 2020) Os pontos e são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC , contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá os pontos
e diz que é isósceles de base , com raio do círculo inscrito .
Conteúdo: geometria analítica (reta, distância ponto-reta), e fórmula do raio inscrito
Passo 2
Calculamos o ponto médio de :
A reta tem coeficiente angular e equação
Sua bissetriz perpendicular é a reta de inclinação passando por , que aqui coincide com .
Logo o vértice deve ser . Além disso
Passo 3
Como , o semiperímetro do triângulo é
Passo 4
A área é . A distância de à reta é
Logo
área =tfrac12cdot12cdot d =6|2h-2-6raiz2|raiz2 =6raiz2,l|h-1-3raiz2r| á
Passo 5
Pela fórmula do raio inscrito,
r=áreas=3 ;Longrightarrow; 6raiz2,l|h-1-3raiz2r| =3l(6+raiz(h-1)^2+(h-1-6raiz2)^2r) á
Dividindo por 3 e definindo d=h-1, chega-se à equação
2raiz2,|,d-3raiz2,| =6+raiz2d^2-12raiz2,d+72
Ao isolar e elevar ao quadrado, aparecem dois quadráticos
d^2-10raiz2,d+42=0 e d^2-2raiz2,d-6=0
Passo 6
As raízes valem
Do primeiro: d=7raiz2 ou d=3raiz2.
Do segundo: d=-raiz2 ou d=3raiz2.
Só d=7raiz2 dá triângulo não degenerado com h>1+3raiz2.
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