Exercício 49 - (ITA, 2020) Os pontos B=(1,1+6 raiz2) e C=(1+6 raiz2, 1) são vértices do triângulo isósceles ABC de base BC , contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede 3, então as coordenadas do vértice A são:
a) (7 raiz2, 7 raiz2)
b) (raiz2, raiz2)
c) (1+7 raiz2, 1+7 raiz2)
d) (1+raiz2, 1+raiz2)
e) (1+6 raiz2, 1+6 raiz2)

Passo 1

O enunciado dá os pontos
B=(1,,1+6raiz2), C=(1+6raiz2,,1)
e diz que ABC é isósceles de base BC, com raio do círculo inscrito r=3.
Conteúdo: geometria analítica (reta, distância ponto-reta), e fórmula do raio inscrito
r=área do triângulosemiperímetro áâí

Passo 2

Calculamos o ponto médio de BC:
M=l(tfrac1+(1+6raiz2)2,;tfrac1+6raiz2+12r) =(1+3raiz2,,1+3raiz2)
A reta BC tem coeficiente angular -1 e equação
x+y=2+6raiz2
Sua bissetriz perpendicular é a reta de inclinação +1 passando por M, que aqui coincide com x=y.
Logo o vértice A deve ser (h,h). Além disso
BC=raiz(6raiz2)^2+(-6raiz2)^2=12

Passo 3

Como AB=AC, o semiperímetro do triângulo é
s=BC+AB+AC2 =6+raiz(h-1)^2+l(h-(1+6raiz2)r)^2 =6+raiz(h-1)^2+(h-1-6raiz2)^2

Passo 4

A área é tfrac12cdot BCcdota<ura. A distância de A=(h,h) à reta x+y=2+6raiz2 é
d=l|h+h-(2+6raiz2)r|raiz2 =|2h-2-6raiz2|raiz2
Logo
área =tfrac12cdot12cdot d =6|2h-2-6raiz2|raiz2 =6raiz2,l|h-1-3raiz2r| á

Passo 5

Pela fórmula do raio inscrito,
r=áreas=3 ;Longrightarrow; 6raiz2,l|h-1-3raiz2r| =3l(6+raiz(h-1)^2+(h-1-6raiz2)^2r) á
Dividindo por 3 e definindo d=h-1, chega-se à equação
2raiz2,|,d-3raiz2,| =6+raiz2d^2-12raiz2,d+72
Ao isolar e elevar ao quadrado, aparecem dois quadráticos
d^2-10raiz2,d+42=0 e d^2-2raiz2,d-6=0

Passo 6

As raízes valem
  • Do primeiro: d=7raiz2 ou d=3raiz2.
  • Do segundo: d=-raiz2 ou d=3raiz2.
    d=7raiz2 dá triângulo não degenerado com h>1+3raiz2.
    Logo
h=1+d=1+7raiz2,
e
A=(h,h)=(1+7raiz2,,1+7raiz2)

Resposta

(1+7raiz2,,1+7raiz2) (opção c)

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