Exercício 48. Calcule
, onde
e
é o semielipsoide superior
, com vetor normal
apontando para o exterior.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
e
é o semielipsoide superior dado por
com o vetor normal
apontando para o exterior do sólido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Campo vetorial:
. - Superfície
: superfície curva do semielipsoide (somente a parte com ), isto é, a casca superior do elipsoide. - Orientação:
é a normal apontando para fora do volume encerrado pelo semielipsoide (ou seja, normal exterior). - Objetivo: calcular o fluxo de
através de , isto é, .
Passo 2
Estratégia escolhida (explicando por que): é conveniente usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície
pela base plana
em
. Razão: o Teorema da Divergência transforma uma integral de superfície por uma superfície fechada em uma integral tripla do divergente do campo; aqui o divergente de
será muito simples (no fim dá zero), o que torna o cálculo trivial. Parâmetros do fechamento:
- Base
é a região plana limitada pela interseção do elipsoide com . A equação em é
uma elipse com semi-eixos
(eixo
) e
(eixo
).
Formulemos o sólido como o volume abaixo do semielipsoide e acima de
. Seja a superfície fechada
com orientação exterior. Pelo Teorema da Divergência:
Formulemos o sólido
Aqui
(com as orientações apropriadas).
Passo 3
Cálculo do divergente de
. Lembre que para
o divergente é
No nosso caso
,
,
. Assim
Importante entender o que significa
: nas derivadas parciais tratamos
como coordenadas independentes, então
é independente de
, logo a derivada de uma função que depende só de
em relação a
é zero. Portanto
Passo 4
Aplicando o Teorema da Divergência ao sólido
com superfície fechada
:
Como
, o lado direito é zero:
Logo
Explico orientação:
em
é a normal exterior; na base
(plano
) a normal exterior do sólido aponta para baixo, isto é, é
(vetor unitário negativo na direção
), mas veremos que não precisaremos complicar isso porque o campo anula no plano.
Passo 5
Cálculo do fluxo através da base
. Na base
temos
, então o campo ali vale
Portanto, para qualquer ponto de
,
Assim a integral sobre
é zero:
Substituindo na relação do Passo 4 obtemos
Passo 6
Interpretação e verificação rápida: o divergente sendo zero significa que não há “fontes” líquidas do campo dentro do volume; aqui, ainda por cima, o campo é nulo na base, então a contribuição da base é zero e a contribuição total através da casca superior também precisa ser zero. Uma verificação alternativa seria parametrizar diretamente o semielipsoide e calcular
ponto a ponto, mas isso dá uma conta bem mais trabalhosa; o uso do Teorema da Divergência torna tudo curto e seguro.
Resposta
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