Exercício 48. Calcule \iint_{S}(F \cdot n) d s, onde F(x, y, z)=\left(z^{2}, 0,0\right) e S é o semielipsoide superior 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6, z \geq 0, com vetor normal n apontando para o exterior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} (F\cdot n)\,d s,
onde F(x,y,z)=\bigl(z^{2},0,0\bigr) e S é o semielipsoide superior dado por
2x^{2}+3y^{2}+z^{2}=6,\qquad z\ge 0,
com o vetor normal n apontando para o exterior do sólido.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Campo vetorial: F(x,y,z)=\bigl(z^{2},0,0\bigr).
  • Superfície S: superfície curva do semielipsoide (somente a parte com z\ge0), isto é, a casca superior do elipsoide.
  • Orientação: n é a normal apontando para fora do volume encerrado pelo semielipsoide (ou seja, normal exterior).
  • Objetivo: calcular o fluxo de F através de S, isto é, \iint_{S}F\cdot n\,d s.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicando por que): é conveniente usar o Teorema da Divergência (Gauss) fechando a superfície S pela base plana D em z=0. Razão: o Teorema da Divergência transforma uma integral de superfície por uma superfície fechada em uma integral tripla do divergente do campo; aqui o divergente de F será muito simples (no fim dá zero), o que torna o cálculo trivial. Parâmetros do fechamento:
  • Base D é a região plana z=0 limitada pela interseção do elipsoide com z=0. A equação em z=0 é
2x^{2}+3y^{2}=6 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1,
uma elipse com semi-eixos \sqrt{3} (eixo x) e \sqrt{2} (eixo y).
Formulemos o sólido V como o volume abaixo do semielipsoide e acima de D. Seja a superfície fechada \Sigma = S\cup D com orientação exterior. Pelo Teorema da Divergência:
\iint_{\Sigma} F\cdot n_{\Sigma}\,dS = \iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
Aqui \iint_{\Sigma} = \iint_{S} + \iint_{D} (com as orientações apropriadas).

Passo 3

Cálculo do divergente de F. Lembre que para F=(F_{1},F_{2},F_{3}) o divergente é
\nabla\cdot F = \frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
No nosso caso F_{1}=z^{2}, F_{2}=0, F_{3}=0. Assim
\nabla\cdot F = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(0).
Importante entender o que significa \partial (z^{2})/\partial x: nas derivadas parciais tratamos x,y,z como coordenadas independentes, então z é independente de x, logo a derivada de uma função que depende só de z em relação a x é zero. Portanto
\nabla\cdot F = 0+0+0=0.

Passo 4

Aplicando o Teorema da Divergência ao sólido V com superfície fechada \Sigma=S\cup D:
\iint_{S} F\cdot n\,dS \;+\; \iint_{D} F\cdot n\,dS \;=\; \iiint_{V} (\nabla\cdot F)\,dV.
Como \nabla\cdot F=0, o lado direito é zero:
\iint_{S} F\cdot n\,dS + \iint_{D} F\cdot n\,dS = 0.
Logo
\iint_{S} F\cdot n\,dS = -\iint_{D} F\cdot n\,dS.
Explico orientação: n em S é a normal exterior; na base D (plano z=0) a normal exterior do sólido aponta para baixo, isto é, é -\mathbf{k} (vetor unitário negativo na direção z), mas veremos que não precisaremos complicar isso porque o campo anula no plano.

Passo 5

Cálculo do fluxo através da base D. Na base z=0 temos z=0, então o campo ali vale
F(x,y,0)=\bigl(0^{2},0,0\bigr)=(0,0,0).
Portanto, para qualquer ponto de D,
F\cdot n = (0,0,0)\cdot n = 0.
Assim a integral sobre D é zero:
\iint_{D} F\cdot n\,dS = 0.
Substituindo na relação do Passo 4 obtemos
\iint_{S} F\cdot n\,dS = -0 = 0.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida: o divergente sendo zero significa que não há “fontes” líquidas do campo dentro do volume; aqui, ainda por cima, o campo é nulo na base, então a contribuição da base é zero e a contribuição total através da casca superior também precisa ser zero. Uma verificação alternativa seria parametrizar diretamente o semielipsoide e calcular F\cdot n\,dS ponto a ponto, mas isso dá uma conta bem mais trabalhosa; o uso do Teorema da Divergência torna tudo curto e seguro.

Resposta

0

Exercícios relacionados