Exercício 3. (i) Defina ponto crítico de f(x).
(ii) Dê exemplo simples de uma f(x) onde o ponto crítico não é máximo e nem mínimo.
(iii) Enuncie o teste da derivada primeira.
(iv) Quais as definições de máximos e mínimos globais (ou seja, absolutos) e máximos e mínimos locais (ou seja, relativos)?
(v) Para cada uma das funções f abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
a) f(x)=x^{2}+\frac{2}{x}
b) f(x)=\cos (x)-\cos ^{2}(x)
c) f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}-4\right)^{1 / 3}}
d) f(x)=\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}
e) f(x)=\ln \left(x^{2}+2\right)

Passo 1

O enunciado pede definições e propriedades de pontos críticos, máximos e mínimos, além de usar o teste da derivada primeira para classificar extremos locais e determinar intervalos de monotonicidade em cinco funções específicas. O conteúdo principal é cálculo de derivadas, teste de monotonicidade e classificação de extremos.

Passo 2

(i) Um ponto x=c é chamado de ponto crítico de uma função f se f'\text{(c)}=0 ou f' não existe em c, desde que c esteja no domínio de f.

Passo 3

(ii) Exemplo simples: f(x)=x^3.
Temos f'(x)=3x^2, logo f'(0)=0, porém x=0 não é nem máximo nem mínimo, é ponto de inflexão.

Passo 4

(iii) Teste da derivada primeira:
Seja c ponto crítico de f.
– Se f'(x) muda de positivo para negativo ao passar por c, então f tem máximo local em c.
– Se f'(x) muda de negativo para positivo, então f tem mínimo local em c.
– Se f'(x) não muda de sinal, não há extremo local em c.

Passo 5

(iv) Definições:
Máximo global (absoluto) em c: para todo x no domínio, f(x)\le f\text{(c)}.
Mínimo global (absoluto) em c: para todo x no domínio, f(x)\ge f\text{(c)}.
Máximo local (relativo) em c: existe vizinhança de c onde f(x)\le f\text{(c)}.
Mínimo local (relativo) em c: existe vizinhança de c onde f(x)\ge f\text{(c)}.

Passo 6

(v) Vamos usar o teste da derivada primeira: calcular f'(x), achar pontos críticos, estudar o sinal de f'(x) em cada região do domínio e classificar os extremos.

Passo 7

a) f(x)=x^{2}+\tfrac{2}{x}, domínio x\neq0.
f'(x)=2x-2x^{-2}=\frac{2x^{3}-2}{x^{2}}=\frac{2(x^{3}-1)}{x^{2}}.
Pontos críticos: x^{3}-1=0\implies x=1.
Sinal de f'(x):
– Para x<0, x^{3}-1<0 e x^{2}>0 \Rightarrow f'<0.
– Para 0<x<1, x^{3}-1<0 \Rightarrow f'<0.
– Para x>1, x^{3}-1>0 \Rightarrow f'>0.
Portanto crescente em (1,\infty) e decrescente em (-\infty,0)\cup(0,1).
Em x=1, f' muda de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local em x=1.

Passo 8

b) f(x)=\cos x-\cos^{2}x, domínio \mathbb{R}.
f'(x)=-\sin x+2\cos x\sin x=\sin x\,(2\cos x-1).
Pontos críticos:
\sin x=0\implies x=k\pi,
2\cos x-1=0\implies \cos x=\tfrac12\implies x=\pm\tfrac{\pi}{3}+2k\pi.
Em cada período 2\pi, usando o teste de sinais, obtém-se:
– Crescente em \bigl(2k\pi,\;2k\pi+\tfrac{\pi}{3}\bigr) e em \bigl(\pi+2k\pi,\;5\pi/3+2k\pi\bigr).
– Decrescente em \bigl(2k\pi+\tfrac{\pi}{3},\;\pi+2k\pi\bigr) e em \bigl(5\pi/3+2k\pi,\;2(k+1)\pi\bigr).
Extremos locais por período:
– Máximo em x=2k\pi+\tfrac{\pi}{3}.
– Mínimos em x=k\pi e em x=2k\pi+\tfrac{5\pi}{3}.

Passo 9

c) f(x)=\dfrac{x}{(x^{2}-4)^{1/3}}, domínio x\neq\pm2.
Escreva f(x)=x\,(x^{2}-4)^{-1/3}.
f'(x) =(x^{2}-4)^{-1/3} + x\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)(x^{2}-4)^{-4/3}\cdot2x =(x^{2}-4)^{-4/3}\,\frac{x^{2}-12}{3}.
Pontos críticos: x^{2}-12=0\implies x=\pm2\sqrt{3}.
Sinal de f'(x): denominador sempre positivo (onde existe), sinal vem de x^{2}-12.
f'<0 se |x|<2\sqrt{3}.
f'>0 se |x|>2\sqrt{3}.
Monotonicidade:
– Crescente em (-\infty,-2\sqrt{3}) e (2\sqrt{3},\infty).
– Decrescente em (-\!2\sqrt{3},-2), (-2,2) e (2,2\sqrt{3}).
Extremos:
– Em x=-2\sqrt{3}, f' muda de + para – \Rightarrow máximo local.
– Em x=2\sqrt{3}, f' muda de – para +\Rightarrow mínimo local.

Passo 10

d) f(x)=\sqrt{x}-\tfrac{1}{\sqrt{x}}, domínio x>0.
f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}+\tfrac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{x+1}{2x^{3/2}}>0 \quad\forall x>0.
Logo f é crescente em (0,\infty) e não há extremos locais.

Passo 11

e) f(x)=\ln\bigl(x^{2}+2\bigr), domínio \mathbb{R}.
f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+2}.
Ponto crítico: x=0.
Sinal de f'(x):
– Para x<0, f'<0 (decrescente).
– Para x>0, f'>0 (crescente).
Portanto mínimo local em x=0.

Resposta

(i) Ponto crítico: c tal que f'\text{(c)}=0 ou f' não existe em c.
(ii) Exemplo: f(x)=x^3, tem ponto crítico em 0 que não é extremo.
(iii) Teste da derivada primeira: se f' muda de + para - em c, há máximo local; se muda de - para +, há mínimo local; caso contrário não há extremo.
(iv) Máximo/mínimo global: maior/menor valor em todo o domínio. Máximo/mínimo local: maior/menor valor numa vizinhança de c.
(v)
a) f(x)=x^{2}+2/x: decrescente em (- \infty,0)\cup(0,1), crescente em (1,\infty), mínimo local em x=1.
b) f(x)=\cos x-\cos^{2}x:
\bullet Crescente em \bigl(2k\pi,2k\pi+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\cup\bigl(\pi+2k\pi,5\pi/3+2k\pi\bigr).
\bullet Decrescente em \bigl(2k\pi+\tfrac{\pi}{3},\pi+2k\pi\bigr)\cup\bigl(5\pi/3+2k\pi,2(k+1)\pi\bigr).
\bullet Máximos em x=2k\pi+\tfrac{\pi}{3}, mínimos em x=k\pi e x=2k\pi+\tfrac{5\pi}{3}.
c) f(x)=x/(x^{2}-4)^{1/3}:
\bullet Crescente em (- 2\sqrt{3},-2) e (2\sqrt{3},\infty).
\bullet Decrescente em (-2\sqrt{3},-2), (-2,2), (2,2\sqrt{3}).
\bullet Máximo local em x=-2\sqrt{3}, mínimo local em x=2\sqrt{3}.
d) f(x)=\sqrt{x}-1/\sqrt{x}: crescente em (0,\infty), sem extremos locais.
e) f(x)=\ln(x^{2}+2): decrescente em (- \infty,0), crescente em (0,\infty), mínimo local em x=0.

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