Exercício 3. (i) Defina ponto crítico de
.
(ii) Dê exemplo simples de uma
onde o ponto crítico não é máximo e nem mínimo.
(iii) Enuncie o teste da derivada primeira.
(iv) Quais as definições de máximos e mínimos globais (ou seja, absolutos) e máximos e mínimos locais (ou seja, relativos)?
(v) Para cada uma das funções
abaixo, determine os pontos de máximo e de mínimos locais (relativos) e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente:
a)
b)
c)
d)
e)
(ii) Dê exemplo simples de uma
(iii) Enuncie o teste da derivada primeira.
(iv) Quais as definições de máximos e mínimos globais (ou seja, absolutos) e máximos e mínimos locais (ou seja, relativos)?
(v) Para cada uma das funções
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede definições e propriedades de pontos críticos, máximos e mínimos, além de usar o teste da derivada primeira para classificar extremos locais e determinar intervalos de monotonicidade em cinco funções específicas. O conteúdo principal é cálculo de derivadas, teste de monotonicidade e classificação de extremos.
Passo 2
(i) Um ponto
é chamado de ponto crítico de uma função
se
ou
não existe em
, desde que
esteja no domínio de
.
Passo 3
(ii) Exemplo simples:
.
Temos , logo
, porém
não é nem máximo nem mínimo, é ponto de inflexão.
Temos
Passo 4
(iii) Teste da derivada primeira:
Seja ponto crítico de
.
– Se muda de positivo para negativo ao passar por
, então
tem máximo local em
.
– Se muda de negativo para positivo, então
tem mínimo local em
.
– Se não muda de sinal, não há extremo local em
.
Seja
– Se
– Se
– Se
Passo 5
(iv) Definições:
– Máximo global (absoluto) em : para todo
no domínio,
.
– Mínimo global (absoluto) em : para todo
no domínio,
.
– Máximo local (relativo) em : existe vizinhança de
onde
.
– Mínimo local (relativo) em : existe vizinhança de
onde
.
– Máximo global (absoluto) em
– Mínimo global (absoluto) em
– Máximo local (relativo) em
– Mínimo local (relativo) em
Passo 6
(v) Vamos usar o teste da derivada primeira: calcular
, achar pontos críticos, estudar o sinal de
em cada região do domínio e classificar os extremos.
Passo 7
a)
, domínio
.
Pontos críticos:
.
Sinal de :
– Para ,
e
.
– Para ,
.
– Para ,
.
Portanto crescente em e decrescente em
.
Em ,
muda de negativo para positivo
mínimo local em
.
Sinal de
– Para
– Para
– Para
Portanto crescente em
Em
Passo 8
b)
, domínio
.
Pontos críticos:
,
.
Em cada período , usando o teste de sinais, obtém-se:
– Crescente em e em
.
– Decrescente em e em
.
Extremos locais por período:
– Máximo em .
– Mínimos em e em
.
Em cada período
– Crescente em
– Decrescente em
Extremos locais por período:
– Máximo em
– Mínimos em
Passo 9
c)
, domínio
.
Escreva .
Escreva
Pontos críticos:
.
Sinal de : denominador sempre positivo (onde existe), sinal vem de
.
– se
.
– se
.
Monotonicidade:
– Crescente em e
.
– Decrescente em ,
e
.
Extremos:
– Em ,
muda de
para –
máximo local.
– Em ,
muda de – para
mínimo local.
Sinal de
–
–
Monotonicidade:
– Crescente em
– Decrescente em
Extremos:
– Em
– Em
Passo 10
d)
, domínio
.
Logo
é crescente em
e não há extremos locais.
Passo 11
e)
, domínio
.
Ponto crítico:
.
Sinal de :
– Para ,
(decrescente).
– Para ,
(crescente).
Portanto mínimo local em .
Sinal de
– Para
– Para
Portanto mínimo local em
Resposta
(i) Ponto crítico:
tal que
ou
não existe em
.
(ii) Exemplo: , tem ponto crítico em
que não é extremo.
(iii) Teste da derivada primeira: se muda de
para
em
, há máximo local; se muda de
para
, há mínimo local; caso contrário não há extremo.
(iv) Máximo/mínimo global: maior/menor valor em todo o domínio. Máximo/mínimo local: maior/menor valor numa vizinhança de .
(v)
a) : decrescente em
, crescente em
, mínimo local em
.
b) :
Crescente em
.
Decrescente em
.
Máximos em
, mínimos em
e
.
c) :
Crescente em
e
.
Decrescente em
,
,
.
Máximo local em
, mínimo local em
.
d) : crescente em
, sem extremos locais.
e) : decrescente em
, crescente em
, mínimo local em
.
(ii) Exemplo:
(iii) Teste da derivada primeira: se
(iv) Máximo/mínimo global: maior/menor valor em todo o domínio. Máximo/mínimo local: maior/menor valor numa vizinhança de
(v)
a)
b)
c)
d)
e)