Exercício 51 - (UDESC, 2018) A soma de todas as raízes reais da função
f(x)=cotg^2(x)-54 sen^2(x)+2 pertencentes ao intervalo [pi2, 3 pi] é igual a:
a) 4 pi
b) 53 pi6
c) 9 pi
d) 35 pi6
e) 73 pi6

Passo 1

O enunciado pede a soma de todas as raízes reais de
f(x)=cotg^2(x);-;54,sen^2(x);+;2
no intervalo l[tfracpi2,3pir].
Conteúdo: resolver uma equação trigonométrica usando
cotg^2x=dfraccos^2xsen^2x e sin^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Impondo f(x)=0 e multiplicando ambos os lados por sen^2(x) (visto que as soluções não podem ter sen x=0), vem
cos^2x;-;54;+;2,sen^2x ;=;0

Passo 3

Use sen^2x=1-cos^2x para escrever tudo em cos^2x:
cos^2x ;+;2l(1-cos^2xr);=;54 ;;Longrightarrow;; 2-cos^2x=54 ;;Longrightarrow;; cos^2x=34

Passo 4

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cos x = pm raiz32
As soluções gerais são
cos x = +raiz32 ;Longrightarrow; x = pi6 + 2kpi ;ou; x = 11pi6 + 2kpi, [6pt] cos x = -raiz32 ;Longrightarrow; x = 5pi6 + 2kpi ;ou; x = 7pi6 + 2kpi ]

Passo 5

Escolhendo k de modo que xinl[tfracpi2,3pir], obtemos as cinco soluções
x=5pi6,;7pi6,;11pi6,;13pi6,;17pi6

Passo 6

A soma dessas raízes é
S=l(5+7+11+13+17r)pi6 =53pi6

Resposta

53pi6

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