Exercício 48. Sejam e definidas implicitamente pela equação . Suponha , e que no ponto as derivadas parciais de sejam diferentes de zero. Mostre que .
Passo 1
O enunciado trata de três variáveis x,y,z ligadas pela equação
F(x,y,z)=0
de modo que cada variável possa ser vista como função das outras duas: x=x(y,z), y=y(x,z) e z=z(x,y).
Queremos usar o Teorema da Função Implícita para calcular as derivadas parciais partial xpartial y|z, partial ypartial z|x e partial zpartial x|y
no ponto (x0,y0,z0) e mostrar que o produto dessas três derivadas vale -1.
Passo 2
Para x=x(y,z) fixamos z constante (dz=0) e diferenciamos implicitamente