Exercício 48. Sejam x=x(y, z), y=y(x, z) e z=z(x, y) definidas implicitamente pela equação F(x, y, z)=0. Suponha x0=x(y 0, z 0), y0=y(x0, z0), z0=z(x0, y0) e que no ponto (x0, y0, z0) as derivadas parciais de F sejam diferentes de zero. Mostre que partial xpartial y|z=z0 ^y=y0 cdot partial ypartial z|z=z0 ^x=x0 cdot partial zpartial x|y=y0 ^x=x0=-1.

Passo 1

O enunciado trata de três variáveis x,y,z ligadas pela equação
F(x,y,z)=0
de modo que cada variável possa ser vista como função das outras duas:
x=x(y,z), y=y(x,z) e z=z(x,y).
Queremos usar o Teorema da Função Implícita para calcular as derivadas parciais
partial xpartial y|z,
partial ypartial z|x e
partial zpartial x|y
no ponto (x0,y0,z0) e mostrar que o produto dessas três derivadas vale -1.

Passo 2

Para x=x(y,z) fixamos z constante ( dz=0) e diferenciamos implicitamente
Fx,dx + Fy,dy + Fz,dz = 0
torna-se
Fx,dx + Fy,dy = 0
Dividindo por dy, obtemos
Fx,partial xpartial y|z + Fy = 0 Longrightarrow partial xpartial y|z = -,FyFx

Passo 3

Para y=y(x,z) fixamos x constante ( dx=0) na mesma diferencial, ficando
Fy,dy + Fz,dz = 0
Logo, dividindo por dz,
Fy,partial ypartial z|x + Fz = 0 Longrightarrow partial ypartial z|x = -,FzFy

Passo 4

Para z=z(x,y) fixamos y constante ( dy=0) e obtemos
Fx,dx + Fz,dz = 0
Dividindo por dx,
Fx + Fz,partial zpartial x|y = 0 Longrightarrow partial zpartial x|y = -,FxFz

Passo 5

Multiplicando as três expressões:
partial xpartial y|z ;cdot; partial ypartial z|x ;cdot; partial zpartial x|y = l(-FyFxr) l(-FzFyr) l(-FxFzr) = -1

Resposta

partial xpartial y|z=z0^,y=y0 ;cdot; partial ypartial z|x=x0^,z=z0 ;cdot; partial zpartial x|y=y0^,x=x0 = -1

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