Exercício 49. Calcule \iint_{D} x y d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{16} \leq 1\right.\right\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} x y\,dx\,dy,
onde o conjunto D é a elipse centrada na origem definida por
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+\frac{y^{2}}{16}\leq 1\right\}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A região D é uma elipse centrada em (0,0), com semi-eixo horizontal 1 (no eixo x) e semi-eixo vertical 4 (no eixo y), porque a equação pode ser escrita como \dfrac{x^{2}}{1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{4^{2}}\leq 1.
  • A função a integrar é f(x,y)=x\,y.
O que é pedido: calcular exatamente o valor de \iint_{D} x y\,dx\,dy.

Passo 2

Idea-prática (simetria): vou explicar um princípio muito útil para integrais duplas — quando a região e a função apresentam simetrias, a integral pode ser muito simples de avaliar sem longos cálculos.
Definição e propriedade usada:
  • Dizemos que uma região D é simétrica em relação ao eixo y (ou simétrica por reflexão em x\mapsto -x) se, sempre que (x,y)\in D, também (-x,y)\in D.
  • Uma função f(x,y) é ímpar em x (para y fixo) se f(-x,y)=-f(x,y).
Aqui:
  • A elipse D dada por x^{2}+\dfrac{y^{2}}{16}\leq 1 é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y) satisfaz a desigualdade, então substituindo x por -x a desigualdade permanece verdadeira porque x^{2}=(-x)^{2}. Logo (x,y)\in D \Rightarrow (-x,y)\in D.
  • A função f(x,y)=x y satisfaz f(-x,y)=(-x)\,y = -x y = -f(x,y). Portanto f é ímpar em x.
Agora a ideia do cancelamento (passo a passo formal, para você poder reproduzir na prova):
  • Particione D em duas sub-regiões simétricas: D_{+}=\{(x,y)\in D \mid x\ge 0\} e D_{-}=\{(x,y)\in D \mid x\le 0\}. Note que D = D_{+}\cup D_{-} e as duas peças têm a mesma forma por reflexão.
  • Escreva a integral como soma:
\iint_{D} x y\,dx\,dy = \iint_{D_{+}} x y\,dx\,dy + \iint_{D_{-}} x y\,dx\,dy.
  • Faça uma mudança de variável simples na integral sobre D_{-}: como D_{-} é a reflexão de D_{+} por x\mapsto -x, para cada ponto (x,y)\in D_{+} existe (-x,y)\in D_{-}. Tomando u=-x (com du=-dx) e mantendo y igual, obtém-se
\iint_{D_{-}} x y\,dx\,dy = \iint_{D_{+}} (-u)\,y\,(-du)\,dy = -\iint_{D_{+}} u\,y\,du\,dy = -\iint_{D_{+}} x\,y\,dx\,dy,
onde no último passo renomeei u de volta para x.
  • Assim as duas integrais são opostas, e ao somá-las:
\iint_{D} x y\,dx\,dy = \iint_{D_{+}} x y\,dx\,dy + \big(-\iint_{D_{+}} x y\,dx\,dy\big) = 0.
Essa conclusão é direta e exige apenas reconhecimento da simetria da região e da ímparidade da função em x. Na prova, quando você vir uma região simétrica e um integrando com paridade apropriada, vale sempre tentar esse caminho — economiza tempo.

Passo 3

Verificação alternativa (método de mudança linear + coordenadas polares) — para reforçar a intuição e mostrar outra abordagem pedida pela matéria.
  1. Transformação linear que envia a elipse para o disco unidade: faça a substituição
x = u,\qquad y = 4v.
Essa transformação manda a elipse x^{2}+\dfrac{y^{2}}{16}\le 1 para o disco unitário
U=\{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 1\},
pois
x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=u^{2}+\frac{(4v)^{2}}{16}=u^{2}+v^{2}.
  1. Jacobiano da transformação: como x=u e y=4v, o determinante da matriz Jacobiana é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 4\end{vmatrix}=4,
portanto dx\,dy = 4\,du\,dv.
  1. Reescrevendo a integral em (u,v):
\iint_{D} x y\,dx\,dy = \iint_{U} (u)(4v)\,(4\,du\,dv) = \iint_{U} 16\,u v\,du\,dv.
  1. Passe a coordenadas polares no disco U: use u=r\cos\theta, v=r\sin\theta, com 0\le r\le 1 e 0\le\theta<2\pi. O jacobiano é r, então
\iint_{U} 16\,u v\,du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 16\,(r\cos\theta)(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta.
Simplificando o integrando:
16\,(r\cos\theta)(r\sin\theta)\,r = 16\,r^{3}\cos\theta\sin\theta = 8\,r^{3}\sin(2\theta).
  1. Integre em \theta primeiro: para qualquer r,
\int_{0}^{2\pi} \sin(2\theta)\,d\theta = 0,
porque \sin(2\theta) tem média zero num período inteiro. Assim a integral dupla vale zero:
\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{2\pi} 8\,r^{3}\sin(2\theta)\,d\theta\right)dr = \int_{0}^{1} 8\,r^{3}\cdot 0\,dr = 0.
Essa verificação confirma o resultado obtido pelo argumento de simetria.]

Passo 4

Resumo final e dica para a prova: a maneira mais rápida é sempre checar simetrias antes de tentar cálculos longos. Aqui a região é simétrica em x e o integrando x y é ímpar em x, então a integral se cancela e dá zero. Se quiser confirmar, pode usar a transformação linear que transforma a elipse em disco e ver que a componente angular faz a integral ser nula.

Resposta

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