A região D é uma elipse centrada em (0,0), com semi-eixo horizontal 1 (no eixo x) e semi-eixo vertical 4 (no eixo y), porque a equação pode ser escrita como \dfrac{x^{2}}{1^{2}}+\dfrac{y^{2}}{4^{2}}\leq 1.
A função a integrar é f(x,y)=x\,y.
O que é pedido: calcular exatamente o valor de \iint_{D} x y\,dx\,dy.
Passo 2
Idea-prática (simetria): vou explicar um princípio muito útil para integrais duplas — quando a região e a função apresentam simetrias, a integral pode ser muito simples de avaliar sem longos cálculos.
Definição e propriedade usada:
Dizemos que uma região D é simétrica em relação ao eixo y (ou simétrica por reflexão em x\mapsto -x) se, sempre que (x,y)\in D, também (-x,y)\in D.
Uma função f(x,y) é ímpar em x (para y fixo) se f(-x,y)=-f(x,y).
Aqui:
A elipse D dada por x^{2}+\dfrac{y^{2}}{16}\leq 1 é simétrica em relação ao eixo y: se (x,y) satisfaz a desigualdade, então substituindo x por -x a desigualdade permanece verdadeira porque x^{2}=(-x)^{2}. Logo (x,y)\in D \Rightarrow (-x,y)\in D.
A função f(x,y)=x y satisfaz f(-x,y)=(-x)\,y = -x y = -f(x,y). Portanto f é ímpar em x.
Agora a ideia do cancelamento (passo a passo formal, para você poder reproduzir na prova):
Particione D em duas sub-regiões simétricas: D_{+}=\{(x,y)\in D \mid x\ge 0\} e D_{-}=\{(x,y)\in D \mid x\le 0\}. Note que D = D_{+}\cup D_{-} e as duas peças têm a mesma forma por reflexão.
Escreva a integral como soma:
\iint_{D} x y\,dx\,dy = \iint_{D_{+}} x y\,dx\,dy + \iint_{D_{-}} x y\,dx\,dy.
Faça uma mudança de variável simples na integral sobre D_{-}: como D_{-} é a reflexão de D_{+} por x\mapsto -x, para cada ponto (x,y)\in D_{+} existe (-x,y)\in D_{-}. Tomando u=-x (com du=-dx) e mantendo y igual, obtém-se
Assim as duas integrais são opostas, e ao somá-las:
\iint_{D} x y\,dx\,dy = \iint_{D_{+}} x y\,dx\,dy + \big(-\iint_{D_{+}} x y\,dx\,dy\big) = 0.
Essa conclusão é direta e exige apenas reconhecimento da simetria da região e da ímparidade da função em x. Na prova, quando você vir uma região simétrica e um integrando com paridade apropriada, vale sempre tentar esse caminho — economiza tempo.
Passo 3
Verificação alternativa (método de mudança linear + coordenadas polares) — para reforçar a intuição e mostrar outra abordagem pedida pela matéria.
Transformação linear que envia a elipse para o disco unidade: faça a substituição
x = u,\qquad y = 4v.
Essa transformação manda a elipse x^{2}+\dfrac{y^{2}}{16}\le 1 para o disco unitário
Essa verificação confirma o resultado obtido pelo argumento de simetria.]
Passo 4
Resumo final e dica para a prova: a maneira mais rápida é sempre checar simetrias antes de tentar cálculos longos. Aqui a região é simétrica em x e o integrando x y é ímpar em x, então a integral se cancela e dá zero. Se quiser confirmar, pode usar a transformação linear que transforma a elipse em disco e ver que a componente angular faz a integral ser nula.