Exercício 58. Calcule \iiint_{W}(x+y+z) d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid-1 \leq x \leq 1,2 \leq\right. y \leq 4,0 \leq z \leq 3\}.

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral tripla
\iiint_{W}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz,
onde a região W é o paralelepípedo (caixa) definido por:
  • -1 \leq x \leq 1,
  • 2 \leq y \leq 4,
  • 0 \leq z \leq 3.
As informações relevantes que temos são:
  • a função integranda é x+y+z;
  • os limites de integração são retângulos em cada variável (intervalos independentes);
  • a região W é o produto cartesiano dos três intervalos acima.
O que o exercício quer: o valor numérico da integral tripla sobre W.

Passo 2

Estratégia (explicação das ferramentas que vou usar, passo a passo e didática):
  • Como a região W é um produto de intervalos (uma caixa), e a função x+y+z é contínua, vale o Teorema de Fubini: a integral tripla pode ser calculada como integrais iteradas em qualquer ordem.
  • Além disso, a integral é linear: \iiint_W (x+y+z)\,dV = \iiint_W x\,dV + \iiint_W y\,dV + \iiint_W z\,dV.
  • Para cada termo, como os limites são independentes (produto de intervalos), a integral separa-se em produto de integrais unidimensionais. Por exemplo,
\iiint_W x\,dV = \left(\int_{-1}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{2}^{4} dy\right)\left(\int_{0}^{3} dz\right).
Vou usar essas propriedades (Fubini, linearidade e separabilidade) porque tornam o cálculo direto e mecanizável.
Pequena lembrança sobre separabilidade: se W=[a,b]\times[c,d]\times[e,f] e a função é produto ou soma de funções de variáveis separadas, integráveis, podemos escrever as integrais como produtos (no caso de produto) ou separar em somas de produtos (no caso de soma), o que facilita muito.

Passo 3

Cálculo do primeiro termo \displaystyle \iiint_W x\,dV.
Escrevendo como produto de integrais:
\iiint_W x\,dV = \left(\int_{-1}^{1} x\,dx\right)\left(\int_{2}^{4} dy\right)\left(\int_{0}^{3} dz\right).
Calculo cada integral:
\int_{-1}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{2}(1^{2})-\tfrac{1}{2}((-1)^{2})=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0.
Observação didática: isso acontece porque x é função ímpar e o intervalo de integração em x é simétrico em relação a zero; a área positiva para x>0 cancela a negativa para x<0.
Como uma das parcelas é zero, o produto inteiro é zero:
\iiint_W x\,dV = 0.

Passo 4

Cálculo do segundo termo \displaystyle \iiint_W y\,dV.
Separe em produtos:
\iiint_W y\,dV = \left(\int_{-1}^{1} dx\right)\left(\int_{2}^{4} y\,dy\right)\left(\int_{0}^{3} dz\right).
Calcule cada uma:
\int_{-1}^{1} dx = [x]_{-1}^{1} = 1-(-1)=2.
\int_{2}^{4} y\,dy = \left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{2}^{4} = \tfrac{1}{2}(4^{2})-\tfrac{1}{2}(2^{2})=\tfrac{1}{2}(16-4)=\tfrac{1}{2}\cdot 12=6.
\int_{0}^{3} dz = [z]_{0}^{3}=3-0=3.
Multiplicando:
\iiint_W y\,dV = 2\cdot 6\cdot 3 = 36.

Passo 5

Cálculo do terceiro termo \displaystyle \iiint_W z\,dV.
Separe em produtos:
\iiint_W z\,dV = \left(\int_{-1}^{1} dx\right)\left(\int_{2}^{4} dy\right)\left(\int_{0}^{3} z\,dz\right).
Calcule cada uma:
\int_{-1}^{1} dx = 2 \quad(\text{já calculado}),á
\int_{2}^{4} dy = [y]_{2}^{4} = 4-2 = 2,
\int_{0}^{3} z\,dz = \left[\tfrac{1}{2}z^{2}\right]_{0}^{3} = \tfrac{1}{2}(9)-0=\tfrac{9}{2}.
Multiplicando:
\iiint_W z\,dV = 2\cdot 2\cdot \tfrac{9}{2} = 4\cdot \tfrac{9}{2} = 2\cdot 9 = 18.

Passo 6

Somando as três contribuições (pela linearidade):
\iiint_W (x+y+z)\,dV = \iiint_W x\,dV + \iiint_W y\,dV + \iiint_W z\,dV = 0 + 36 + 18 = 54.
Pequeno comentário final e motivador: repare como a escolha de usar Fubini e a separação transformou um problema 3D em contas simples de integrais em 1D — é uma técnica que salva tempo na prova. Vais desenrolar isso numa boa!

Resposta

54

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