Exercício 58. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral tripla
onde a região
é o paralelepípedo (caixa) definido por:
-
, -
, -
.
As informações relevantes que temos são:
- a função integranda é
; - os limites de integração são retângulos em cada variável (intervalos independentes);
- a região
é o produto cartesiano dos três intervalos acima.
O que o exercício quer: o valor numérico da integral tripla sobre
.
Passo 2
Estratégia (explicação das ferramentas que vou usar, passo a passo e didática):
- Como a região
é um produto de intervalos (uma caixa), e a função é contínua, vale o Teorema de Fubini: a integral tripla pode ser calculada como integrais iteradas em qualquer ordem. - Além disso, a integral é linear:
. - Para cada termo, como os limites são independentes (produto de intervalos), a integral separa-se em produto de integrais unidimensionais. Por exemplo,
Vou usar essas propriedades (Fubini, linearidade e separabilidade) porque tornam o cálculo direto e mecanizável.
Pequena lembrança sobre separabilidade: se
e a função é produto ou soma de funções de variáveis separadas, integráveis, podemos escrever as integrais como produtos (no caso de produto) ou separar em somas de produtos (no caso de soma), o que facilita muito.
Passo 3
Cálculo do primeiro termo
.
Escrevendo como produto de integrais:
Calculo cada integral:
Observação didática: isso acontece porque
é função ímpar e o intervalo de integração em
é simétrico em relação a zero; a área positiva para
cancela a negativa para
.
Como uma das parcelas é zero, o produto inteiro é zero:
Passo 4
Cálculo do segundo termo
.
Separe em produtos:
Calcule cada uma:
Multiplicando:
Passo 5
Cálculo do terceiro termo
.
Separe em produtos:
Calcule cada uma:
Multiplicando:
Passo 6
Somando as três contribuições (pela linearidade):
Pequeno comentário final e motivador: repare como a escolha de usar Fubini e a separação transformou um problema 3D em contas simples de integrais em 1D — é uma técnica que salva tempo na prova. Vais desenrolar isso numa boa!