Exercício 6.51. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+\operatorname{sen}(2 x))^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
L = \lim_{x\to0}\bigl(1+\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{\frac1x}.
Aqui o conteúdo é cálculo de limite exponencial do tipo (1+u(x))^{v(x)} com u(x)\to0 e v(x)\to\infty. Para resolver vamos usar o truque de tomar logaritmo e empregar limites conhecidos.

Passo 2

Definimos
\ln L = \lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(1+\operatorname{sen}(2x)\bigr)}{x}.
Se conseguirmos esse limite, então L = e^{\ln L}.

Passo 3

Para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\ln\bigl(1+\operatorname{sen}(2x)\bigr)}{x}
usamos que, quando u\to0,
\frac{\ln(1+u)}{u}\to1.
Tomando u=\operatorname{sen}(2x), escrevemos
\frac{\ln\bigl(1+\operatorname{sen}(2x)\bigr)}{x} =\frac{\ln\bigl(1+\operatorname{sen}(2x)\bigr)}{\operatorname{sen}(2x)}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}.
Quando x\to0, a primeira fração tende a 1 e a segunda tende a
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} =2\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=2.
Logo
\ln L = 1\cdot 2 = 2.

Passo 4

Concluímos que
L = e^{\ln L} = e^2.

Resposta

\lim_{x\to0}\bigl(1+\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{\frac1x} = e^2.

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