Exercício 6.51. Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sqrt{1+x})^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\bigl(\sqrt{1+x}\bigr)^{\frac{1}{x}}.
Este é um limite do tipo 1^{\infty}. Para resolver, vamos usar a função logaritmo natural para transformar a expressão em uma forma indeterminada do tipo \frac{0}{0}, calcular esse limite e depois aplicar a função exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to0^{+}}\bigl(\sqrt{1+x}\bigr)^{\frac{1}{x}}.
Se existir o limite
\ell = \lim_{x\to0^{+}}\ln\Bigl(\bigl(\sqrt{1+x}\bigr)^{\frac{1}{x}}\Bigr),
então teremos
L = e^{\ell}.

Passo 3

Simplificamos o logaritmo:
\ln\Bigl(\bigl(\sqrt{1+x}\bigr)^{\frac{1}{x}}\Bigr) = \frac{1}{x}\,\ln\bigl((1+x)^{\tfrac12}\bigr) = \frac{1}{x}\,\cdot\tfrac12\,\ln(1+x) = \frac{1}{2}\,\frac{\ln(1+x)}{x}.
Logo,
\ell = \lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{2}\,\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 4

Usamos o limite conhecido
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Portanto,
\ell = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}.
Assim,
L = e^{\ell} = e^{\tfrac12}.

Resposta

\sqrt{e}

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