Exercício 6.51. Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan x\Bigr)^{\frac{1}{\ln x}}.
Percebemos que, à medida que x\to\infty, \arctan x\to\frac{\pi}{2}, logo a base tende a zero e o expoente tende a zero. Isso é uma forma indeterminada 0^0. Para resolver, vamos usar a técnica de passar ao logaritmo natural e depois voltar pela exponencial.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to\infty}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan x\Bigr)^{\frac{1}{\ln x}},
e estudamos
\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan x\bigr)}{\ln x}.
Se essa razão convergir para um valor A, então L = e^A.

Passo 3

Para achar o comportamento de \frac{\pi}{2}-\arctan x quando x\to\infty, usamos a identidade válida para x>0:
\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}.
Assim
\frac{\pi}{2}-\arctan x = \arctan\frac{1}{x}.
Como \frac{1}{x}\to0, vale a aproximação para small y: \arctan y \sim y. Logo
\frac{\pi}{2}-\arctan x \sim \frac{1}{x}.

Passo 4

Com isso,
\ln\Bigl(\frac{\pi}{2}-\arctan x\Bigr) \sim \ln\frac{1}{x} = -\ln x.
Portanto
\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{-\ln x + o(1)}{\ln x} = -1.

Passo 5

Concluímos que
L = e^{-1} = \frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

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