Exercício 53 - (ITA, 2020) Seja a um número real satisfazendo 0<a<pi2. Então, a soma de todos os valores de x in[0,2 pi] que satisfazem a equação cos (x) sen(a+x)=sen(a) é igual a:
a) 5 pi+2 a
b) 5 pi+a
c) 5 pi
d) 5 pi-a
e) 5 pi-2 a

Passo 1

O enunciado pede a soma de todas as soluções xin[0,2pi] da equação
cos(x),sen(a+x)=sen(a),
onde 0<a<tfracpi2. Vamos usar identidades trigonométricas para reduzir essa equação a uma forma de sen(theta)=sen(phi) e, em seguida, encontrar todas as soluções em [0,2pi].

Passo 2

Usamos a identidade
sen(u)cos(v)=tfrac12l[sen(u+v)+sen(u-v)r]
com u=a+x e v=x. Temos
cos(x),sen(a+x) =tfrac12l[sen(a+2x)+sen(a)r]
Substituindo na equação original:
tfrac12l[sen(a+2x)+sen(a)r]=sen(a) Longrightarrow sen(a+2x)+sen(a)=2sen(a) Longrightarrow sen(a+2x)=sen(a)

Passo 3

A condição sin(A)=sin(B) dá duas famílias de soluções:
1. A=B+2kpi
2. A=pi-B+2kpi.
Aqui A=a+2x e B=a.
1. a+2x=a+2kpi ;Longrightarrow;
2x=2kpi Longrightarrow x=kpi
2. a+2x=pi - a + 2kpi ;Longrightarrow;
2x=pi - 2a + 2kpi Longrightarrow x=tfracpi2 - a + kpi

Passo 4

Agora selecionamos as soluções em [0,2pi].
Da família x=kpi:
  • k=0to x=0,
  • k=1to x=pi,
  • k=2to x=2pi.
Da família x=tfracpi2-a+kpi:
  • k=0to x=tfracpi2-a (positiva e < pi/2),
  • k=1to x=tfracpi2-a+pi=tfrac3pi2-a (> pi e < 2pi).
    Para k=-1 dá negativo e para k=2 ultrapassa 2pi.
Logo, as cinco soluções são
0, tfracpi2-a, pi, tfrac3pi2-a, 2pi

Passo 5

Somamos as cinco raízes:
S=0+l(tfracpi2-ar)+pi+l(tfrac3pi2-ar)+2pi =(tfracpi2+pi+tfrac3pi2+2pi)-2a =5pi-2a

Resposta

A soma pedida é 5pi-2a, alternativa (e).

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