Exercício 53 - (ITA, 2020) Seja a um número real satisfazendo
. Então, a soma de todos os valores de
que satisfazem a equação
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede a soma de todas as soluções
da equação
onde
. Vamos usar identidades trigonométricas para reduzir essa equação a uma forma de
e, em seguida, encontrar todas as soluções em
.
Passo 2
Usamos a identidade
com
e
. Temos
Substituindo na equação original:
Passo 3
A condição
dá duas famílias de soluções:
.
.
.
Aqui e
.
.
Aqui
Passo 4
Agora selecionamos as soluções em
.
Da família
:
-
, -
, -
.
Da família
:
-
(positiva e < ), -
(> e < ).
Paradá negativo e para ultrapassa .
Logo, as cinco soluções são
Passo 5
Somamos as cinco raízes:
Resposta
A soma pedida é
, alternativa (e).