Exercício 55. Determine:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre \sqrt{1+2x}-1 (no numerador) e x (no denominador).
  • O ponto de interesse é x\to 0.

Passo 2

Testar substituição direta para ver o comportamento:
\text{numerador: }\sqrt{1+2\cdot 0}-1=\sqrt{1}-1=0, \qquad \text{denominador: }0.
Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso significa que precisamos manipular algebricamente ou usar alguma técnica para eliminar a indeterminação antes de calcular o limite.

Passo 3

Uma técnica clássica para expressões com raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. Aqui o conjugado de \sqrt{1+2x}-1 é \sqrt{1+2x}+1. Multiplica-se a fração por \dfrac{\sqrt{1+2x}+1}{\sqrt{1+2x}+1} (que vale 1 sempre que o denominador não seja zero):
\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+2x}+1}{\sqrt{1+2x}+1} =\frac{\bigl(\sqrt{1+2x}-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+2x}+1\bigr)}{x\bigl(\sqrt{1+2x}+1\bigr)}.

Passo 4

Desenvolver o produto no numerador usando a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2:
\bigl(\sqrt{1+2x}\bigr)^2-1^2=(1+2x)-1=2x.
Logo a fração fica
\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{1+2x}+1\bigr)}.

Passo 5

Para x\neq 0 pode-se cancelar x no numerador e denominador:
\frac{2x}{x\bigl(\sqrt{1+2x}+1\bigr)}=\frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}\qquad (x\neq 0).
Como o limite considera x tendendo a 0, é válido trabalhar com essa expressão simplificada para x próximos de 0 mas diferentes de 0.

Passo 6

Agora calcular o limite da expressão simplificada. A função x\mapsto\sqrt{1+2x} é contínua no entorno de 0, então pode-se substituir diretamente:
\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+2x}+1}=\frac{2}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1.

Passo 7

Interpretação rápida (intuitiva): a forma \tfrac{0}{0} indica que o numerador cresce, quando x sai de 0, aproximadamente na mesma ordem de x; a racionalização mostrou que a razão tende a 1. Outra forma de ver isso é reconhecer que o limite é a derivada de f(x)=\sqrt{1+2x} em x=0, que também dá 1 (mas a dedução por conjugado é mais elementar e algébrica).

Resposta

1

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