Exercício 55. Determine:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é a razão entre
(no numerador) e (no denominador). - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Testar substituição direta para ver o comportamento:
Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que precisamos manipular algebricamente ou usar alguma técnica para eliminar a indeterminação antes de calcular o limite.
Passo 3
Uma técnica clássica para expressões com raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. Aqui o conjugado de
é
. Multiplica-se a fração por
(que vale 1 sempre que o denominador não seja zero):
Passo 4
Desenvolver o produto no numerador usando a identidade
:
Logo a fração fica
Passo 5
Para
pode-se cancelar
no numerador e denominador:
Como o limite considera
tendendo a
, é válido trabalhar com essa expressão simplificada para
próximos de
mas diferentes de
.
Passo 6
Agora calcular o limite da expressão simplificada. A função
é contínua no entorno de
, então pode-se substituir diretamente:
Passo 7
Interpretação rápida (intuitiva): a forma
indica que o numerador cresce, quando
sai de
, aproximadamente na mesma ordem de
; a racionalização mostrou que a razão tende a
. Outra forma de ver isso é reconhecer que o limite é a derivada de
em
, que também dá
(mas a dedução por conjugado é mais elementar e algébrica).