Exercício 62. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é o paralelepípedo
Informações dadas e o que se pede:
- A função integranda é
. - A região de integração é o cubo com cada coordenada variando de
a . - Objetivo: calcular o valor numérico exato da integral tripla sobre esse cubo.
Passo 2
Observação útil (fato algébrico que facilita tudo): a exponencial separa somas em produto, isto é,
Como a função
é contínua em todo o espaço e, em particular, contínua no cubo
(que é compacto), podemos aplicar o Teorema de Fubini: a integral dupla ou tripla sobre um produto de intervalos de uma função contínua pode ser escrita como produto de integrais unidimensionais quando a função é produto de funções de cada variável. Em linguagem prática aqui:
Explicando de forma simples: como
e os limites de cada variável são independentes (produto de intervalos), a integral tripla fatoriza no produto das três integrais iguais de uma variável só.
Passo 3
Agora calculemos a integral unidimensional típica
Passo-a-passo (regra do cálculo fundamental):
- Sabemos que uma primitiva de
é (porque ). - Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Portanto
Passo 4
Como as três integrais unidimensionais são idênticas, voltando à fatorização do Passo 2 obtemos
Passo 5
Breve comentário interpretativo e forma alternativa (útil para verificar): usando a definição da função seno hiperbólico
, que é
pode-se reescrever o resultado como
Ambas as formas são equivalentes; a forma
é direta e bastante clara.