Exercício 62. Calcule \iiint_{W} e^{x+y+z} d x d y d z, onde W=[-1,1] \times[-1,1] \times[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} e^{x+y+z}\,dx\,dy\,dz,
onde a região W é o paralelepípedo
W=[-1,1]\times[-1,1]\times[-1,1].
Informações dadas e o que se pede:
  • A função integranda é e^{x+y+z}.
  • A região de integração é o cubo com cada coordenada variando de -1 a 1.
  • Objetivo: calcular o valor numérico exato da integral tripla sobre esse cubo.

Passo 2

Observação útil (fato algébrico que facilita tudo): a exponencial separa somas em produto, isto é,
e^{x+y+z}=e^{x}\,e^{y}\,e^{z}.
Como a função e^{x+y+z} é contínua em todo o espaço e, em particular, contínua no cubo W (que é compacto), podemos aplicar o Teorema de Fubini: a integral dupla ou tripla sobre um produto de intervalos de uma função contínua pode ser escrita como produto de integrais unidimensionais quando a função é produto de funções de cada variável. Em linguagem prática aqui:
\iiint_{W} e^{x+y+z}\,dx\,dy\,dz = \left(\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx\right) \left(\int_{-1}^{1} e^{y}\,dy\right) \left(\int_{-1}^{1} e^{z}\,dz\right).
Explicando de forma simples: como e^{x+y+z}=e^x e^y e^z e os limites de cada variável são independentes (produto de intervalos), a integral tripla fatoriza no produto das três integrais iguais de uma variável só.

Passo 3

Agora calculemos a integral unidimensional típica
\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx.
Passo-a-passo (regra do cálculo fundamental):
  • Sabemos que uma primitiva de e^{x} é e^{x} (porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}).
  • Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{x=-1}^{x=1} = e^{1}-e^{-1}.
Portanto
\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx = e - e^{-1}.

Passo 4

Como as três integrais unidimensionais são idênticas, voltando à fatorização do Passo 2 obtemos
\iiint_{W} e^{x+y+z}\,dx\,dy\,dz = \bigl(e-e^{-1}\bigr)\bigl(e-e^{-1}\bigr)\bigl(e-e^{-1}\bigr) = \bigl(e-e^{-1}\bigr)^{3}.

Passo 5

Breve comentário interpretativo e forma alternativa (útil para verificar): usando a definição da função seno hiperbólico \operatorname{sinh}, que é
\operatorname{sinh}(1)=\frac{e^{1}-e^{-1}}{2},
pode-se reescrever o resultado como
\bigl(e-e^{-1}\bigr)^{3} = \bigl(2\operatorname{sinh}(1)\bigr)^{3} = 8\,\operatorname{sinh}^{3}(1).
Ambas as formas são equivalentes; a forma \bigl(e-e^{-1}\bigr)^{3} é direta e bastante clara.

Resposta

\bigl(e-e^{-1}\bigr)^{3}

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