Exercício 3. ( oo, 60 ponto cada item ) Seja a função
\begin{array}{ccl} f: \mathbb{R} \backslash\{-1\} & \rightarrow & \mathbb{R} \\\ x & \mapsto & \frac{1}{\sqrt{1+x^{3}}} \end{array}
Calcular uma estimativa para
\int_{0}^{2} f(x) d x
por meio de cada um dos seguintes métodos de integração numérica:
Na resolução deste exercício deve constar a indicação de todos os cálculos necessários; os cálculos aritméticos em si podem ser feitos com auxílio de um computador ou de uma calculadora.
M_{8};

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa para
\int_{0}^{2}f(x)\,dx
onde
f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}
usando o método do ponto médio composto com n=8. Vamos aplicar a regra do ponto médio, que substitui a integral pela soma
\int_{a}^{b}f(x)\,dx \approx \Delta x\sum_{i=1}^{n}f\bigl(x_i^*\bigr),
onde \Delta x=(b-a)/n e x_i^* é o ponto médio de cada subintervalo.

Passo 2

O intervalo é [0,2] e n=8, logo
\Delta x = \frac{2-0}{8} = 0{,}25.
Os pontos médios são
x_i^* = 0 + \bigl(i - 0{,}5\bigr)\Delta x \quad (i=1,2,\dots,8),
isto é
x_1^*=0{,}125,\; x_2^*=0{,}375,\; x_3^*=0{,}625,\; x_4^*=0{,}875,\; x_5^*=1{,}125,\; x_6^*=1{,}375,\; x_7^*=1{,}625,\; x_8^*=1{,}875.

Passo 3

Avaliamo-os f(x_i^*) em cada ponto médio. Usando calculadora:
\begin{aligned} f(0{,}125)&=\frac{1}{\sqrt{1+(0{,}125)^3}}\approx0{,}9990,\\\ f(0{,}375)&\approx0{,}9746,\\\ f(0{,}625)&\approx0{,}8963,\\\ f(0{,}875)&\approx0{,}7736,\\\ f(1{,}125)&\approx0{,}6420,\\\ f(1{,}375)&\approx0{,}5270,\\\ f(1{,}625)&\approx0{,}4348,\\\ f(1{,}875)&\approx0{,}3630. \end{aligned}

Passo 4

Somamos esses valores e multiplicamos por \Delta x:
\sum_{i=1}^{8}f(x_i^*) \approx 0{,}9990+0{,}9746+0{,}8963+0{,}7736+0{,}6420+0{,}5270+0{,}4348+0{,}3630 = 5{,}6103,
\int_{0}^{2}f(x)\,dx \approx \Delta x \,\sum_{i=1}^{8}f(x_i^*) = 0{,}25\times5{,}6103 = 1{,}4026.

Resposta

A estimativa pelo método do ponto médio composto com n=8 é aproximadamente
1{,}4026.

Exercícios relacionados