Exercício 69. Calcule \iiint_{W} z^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq\right. 4,0 \leq z \leq 1\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} z^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz,
onde a região W é
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 \le x^{2}+y^{2}\le 4,\; 0\le z\le 1\}.
Lista clara do que foi dado:
  • A função a integrar é z^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • A região W é um cilindro “anelado” (um cilindro com furo central) na direção z, com a base no plano xy entre raios \sqrt{1}=1 e \sqrt{4}=2, e altura em z de 0 a 1.
    O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral tripla.

Passo 2

Motivação para mudar de coordenadas e fórmulas úteis.
  • Quando a integranda envolve x^{2}+y^{2} e a região é circular (ou anelar) no plano xy, é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) definidas por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\ge 0 e \theta em algum intervalo de comprimento 2\pi.
  • Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dado por
dV = dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
Aqui r é o fator jacobiano que aparece na mudança de variáveis; ele corresponde à “dilatação” da área quando se passa de coordenadas retangulares para polares no plano xy.

Passo 3

Descrever a região W em coordenadas cilíndricas.
  • Pela condição 1 \le x^{2}+y^{2}\le 4 temos 1 \le r^{2}\le 4, portanto 1\le r\le 2 (tomando r\ge0).
  • Como não há restrição angular, \theta varia de 0 a 2\pi.
  • A coordenada z varia de 0 a 1 conforme dado.
    Assim, em cilíndricas W é descrito por
0\le \theta\le 2\pi,\quad 1\le r\le 2,\quad 0\le z\le 1.

Passo 4

Reescrever a integranda em cilíndricas e escrever a integral com os novos limites.
  • Note que x^{2}+y^{2}=r^{2}, logo \sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=\sin(r^{2}).
  • A integranda multiplicada pelo jacobiano fica z^{2}\sin(r^{2})\cdot r.
    Assim a integral se transforma em
\iiint_{W} z^{2}\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2}\int_{z=0}^{1} z^{2}\sin(r^{2})\, r\, dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separação das integrais (usar Fubini/Tonelli na prática).
  • A função integranda escrita em cilíndricas é produto de funções que dependem separadamente de z, de r e de \theta:
z^{2}\sin(r^{2})\,r = \bigl(z^{2}\bigr)\cdot\bigl(\sin(r^{2})\,r\bigr)\cdot(1).
  • Como os limites são produtos (cada variável tem seu intervalo independente), podemos separar a integral em produtos de integrais unidimensionais:
\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}\int_{0}^{1} z^{2}\sin(r^{2})\, r\, dz\,dr\,d\theta = \left(\int_{0}^{1} z^{2}\,dz\right) \left(\int_{1}^{2} \sin(r^{2})\,r\,dr\right) \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right).

Passo 6

Calcular a integral em z.
  • Fórmula básica: \displaystyle \int z^{n}\,dz = \frac{z^{n+1}}{n+1}+C.
  • Aqui n=2, então
\int_{0}^{1} z^{2}\,dz = \left[\frac{z^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 7

Calcular a integral em \theta.
  • É a integral de 1 no intervalo [0,2\pi], logo
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.

Passo 8

Calcular a integral radial \displaystyle \int_{1}^{2} \sin(r^{2})\,r\,dr usando substituição.
  • Método: fazer a substituição u = r^{2}. Então du = 2r\,dr, logo r\,dr = \dfrac{du}{2}.
  • Mudança de limites: quando r=1 temos u=1; quando r=2 temos u=4.
  • Assim
\int_{1}^{2} \sin(r^{2})\,r\,dr = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{4} \sin(u)\,du.
  • Calcular a primitiva de \sin(u): \int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C. Portanto
\frac{1}{2}\int_{1}^{4} \sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{1}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos 4 + \cos 1\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(\cos 1 - \cos 4\bigr).
(Observação: \cos 1 e \cos 4 estão em radianos.)

Passo 9

Multiplicar os resultados parciais para obter o valor final.
  • Juntando as três integrais:
\left(\int_{0}^{1} z^{2}\,dz\right) \left(\int_{1}^{2} \sin(r^{2})\,r\,dr\right) \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\bigl(\cos 1 - \cos 4\bigr)\cdot 2\pi.
  • Simplificando os fatores numéricos:
\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \frac{\pi}{3}.
  • Portanto o resultado é
\frac{\pi}{3}\bigl(\cos 1 - \cos 4\bigr).

Resposta

\frac{\pi}{3}\bigl(\cos 1 - \cos 4\bigr)

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