Exercício 69. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde a região
é
Lista clara do que foi dado:
- A função a integrar é
. - A região
é um cilindro “anelado” (um cilindro com furo central) na direção , com a base no plano entre raios e , e altura em de a .
O objetivo é calcular o valor numérico dessa integral tripla.
Passo 2
Motivação para mudar de coordenadas e fórmulas úteis.
- Quando a integranda envolve
e a região é circular (ou anelar) no plano , é muito conveniente usar coordenadas cilíndricas definidas por
com
e
em algum intervalo de comprimento
.
- Em coordenadas cilíndricas o elemento de volume é dado por
Aqui
é o fator jacobiano que aparece na mudança de variáveis; ele corresponde à “dilatação” da área quando se passa de coordenadas retangulares para polares no plano
.
Passo 3
Descrever a região
em coordenadas cilíndricas.
- Pela condição
temos , portanto (tomando ). - Como não há restrição angular,
varia de a . - A coordenada
varia de a conforme dado.
Assim, em cilíndricasé descrito por
Passo 4
Reescrever a integranda em cilíndricas e escrever a integral com os novos limites.
- Note que
, logo . - A integranda multiplicada pelo jacobiano fica
.
Assim a integral se transforma em
Passo 5
Separação das integrais (usar Fubini/Tonelli na prática).
- A função integranda escrita em cilíndricas é produto de funções que dependem separadamente de
, de e de :
- Como os limites são produtos (cada variável tem seu intervalo independente), podemos separar a integral em produtos de integrais unidimensionais:
Passo 6
Calcular a integral em
.
- Fórmula básica:
. - Aqui
, então
Passo 7
Calcular a integral em
.
- É a integral de
no intervalo , logo
Passo 8
Calcular a integral radial
usando substituição.
- Método: fazer a substituição
. Então , logo . - Mudança de limites: quando
temos ; quando temos . - Assim
- Calcular a primitiva de
: . Portanto
(Observação:
e
estão em radianos.)
Passo 9
Multiplicar os resultados parciais para obter o valor final.
- Juntando as três integrais:
- Simplificando os fatores numéricos:
- Portanto o resultado é