Exercício 70. Calcule \iiint_{W} z \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq\right. \left.1, z \leq 2 x^{2}+2 y^{2}\right\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} z \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy\,dz,
onde W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\\ z\leq 2x^{2}+2y^{2}\}.
Informações relevantes que temos:
A projeção de W no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
A função integranda é z\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, que exige 1-x^{2}-y^{2}\geq 0, ou seja, x^{2}+y^{2}\leq 1 (compatível com a projeção).
O enunciado só dá a desigualdade z\leq 2x^{2}+2y^{2} como condição em z. Para que a região W seja um corpo fechado e a integral seja finita, é natural interpretar que z varia entre 0 e 2x^{2}+2y^{2}. Sem um limite inferior para z a região seria não limitada para z e a integral não faria sentido (divergiria). Portanto adoto a interpretação:
O objetivo final é obter o valor numérico da integral tripla sobre esse W.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque a região no plano xy é um disco centrado na origem e a integranda depende de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas cilíndricas usamos as transformações:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\geq 0, \theta em [0,2\pi) e z conforme as duas desigualdades. O elemento de volume transforma-se com o jacobiano r, isto é dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicando por que essa escolha é natural: o disco x^{2}+y^{2}\leq 1 vira 0\leq r\leq 1, e as expressões x^{2}+y^{2} se tornam simplesmente r^{2}, o que simplifica muito a integral.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas a integranda fica:
z\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} = z\sqrt{1-r^{2}}.
Os limites são 0\leq r\leq 1, 0\leq \theta\leq 2\pi e 0\leq z\leq 2r^{2}. Portanto a integral é
\iiint_{W} z \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{2r^{2}} z\sqrt{1-r^{2}}\; r\,dz\,dr\,d\theta.
Passo 4
Primeiro integramos em z, porque o integrando é linear em z quando os outros fatores são tratados como constantes em relação a z. Calcule:
Para calcular I=\int_{0}^{1} r^{5}(1-r^{2})^{1/2}\,dr fazemos a substituição usual u=1-r^{2}. Então
u=1-r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = -2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr = -\frac{du}{2}.
Também r^{2}=1-u, então r^{4}=(r^{2})^{2}=(1-u)^{2}. Reescrevendo r^{5}dr = r^{4}\cdot r\,dr = (1-u)^{2}\left(-\frac{du}{2}\right). Quando r vai de 0 a 1, u vai de 1 a 0. Assim