Exercício 70. Calcule \iiint_{W} z \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2} \leq\right. \left.1, z \leq 2 x^{2}+2 y^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} z \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy\,dz,
onde W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\\ z\leq 2x^{2}+2y^{2}\}.
Informações relevantes que temos:
  • A projeção de W no plano xy é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}.
  • A função integranda é z\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, que exige 1-x^{2}-y^{2}\geq 0, ou seja, x^{2}+y^{2}\leq 1 (compatível com a projeção).
  • O enunciado só dá a desigualdade z\leq 2x^{2}+2y^{2} como condição em z. Para que a região W seja um corpo fechado e a integral seja finita, é natural interpretar que z varia entre 0 e 2x^{2}+2y^{2}. Sem um limite inferior para z a região seria não limitada para z e a integral não faria sentido (divergiria). Portanto adoto a interpretação:
W=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1,\\\ 0\leq z\leq 2(x^{2}+y^{2})\}.
O objetivo final é obter o valor numérico da integral tripla sobre esse W.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) porque a região no plano xy é um disco centrado na origem e a integranda depende de x^{2}+y^{2}. Em coordenadas cilíndricas usamos as transformações:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\geq 0, \theta em [0,2\pi) e z conforme as duas desigualdades. O elemento de volume transforma-se com o jacobiano r, isto é dx\,dy\,dz = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicando por que essa escolha é natural: o disco x^{2}+y^{2}\leq 1 vira 0\leq r\leq 1, e as expressões x^{2}+y^{2} se tornam simplesmente r^{2}, o que simplifica muito a integral.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas a integranda fica:
z\sqrt{1-x^{2}-y^{2}} = z\sqrt{1-r^{2}}.
Os limites são 0\leq r\leq 1, 0\leq \theta\leq 2\pi e 0\leq z\leq 2r^{2}. Portanto a integral é
\iiint_{W} z \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy\,dz = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\int_{z=0}^{2r^{2}} z\sqrt{1-r^{2}}\; r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em z, porque o integrando é linear em z quando os outros fatores são tratados como constantes em relação a z. Calcule:
\int_{z=0}^{2r^{2}} z\,dz = \left.\frac{z^{2}}{2}\right|_{0}^{2r^{2}} = \frac{(2r^{2})^{2}}{2} = 2r^{4}.
Multiplicando pelo fator externo r\sqrt{1-r^{2}} obtemos, após a integração em z,
r\sqrt{1-r^{2}}\cdot 2r^{4} = 2r^{5}\sqrt{1-r^{2}}.
Logo a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} 2r^{5}\sqrt{1-r^{2}}\,dr.

Passo 5

A integral em \theta é imediata pois não aparece no integrando final; ela apenas multiplica por 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Portanto a integral total vale
2\pi \cdot \int_{0}^{1} 2r^{5}\sqrt{1-r^{2}}\,dr = 4\pi \int_{0}^{1} r^{5}(1-r^{2})^{1/2}\,dr.

Passo 6

Para calcular I=\int_{0}^{1} r^{5}(1-r^{2})^{1/2}\,dr fazemos a substituição usual u=1-r^{2}. Então
u=1-r^{2}\quad\Rightarrow\quad du = -2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr = -\frac{du}{2}.
Também r^{2}=1-u, então r^{4}=(r^{2})^{2}=(1-u)^{2}. Reescrevendo r^{5}dr = r^{4}\cdot r\,dr = (1-u)^{2}\left(-\frac{du}{2}\right). Quando r vai de 0 a 1, u vai de 1 a 0. Assim
I = \int_{r=0}^{1} r^{5}(1-r^{2})^{1/2}\,dr = \int_{u=1}^{0} (1-u)^{2} u^{1/2}\left(-\frac{du}{2}\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} u^{1/2}(1-u)^{2}\,du.
Agora expandimos (1-u)^{2}=1-2u+u^{2} e integramos termo a termo:
I = \frac{1}{2}\left(\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du - 2\int_{0}^{1} u^{3/2}\,du + \int_{0}^{1} u^{5/2}\,du\right).
Calculando as primitivas:
\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du = \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{3},
\int_{0}^{1} u^{3/2}\,du = \left.\frac{2}{5}u^{5/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{5},
\int_{0}^{1} u^{5/2}\,du = \left.\frac{2}{7}u^{7/2}\right|_{0}^{1}=\frac{2}{7}.
Substituindo:
I = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} - 2\cdot\frac{2}{5} + \frac{2}{7}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} - \frac{4}{5} + \frac{2}{7}\right).
Colocando em comum denominador 105:
\frac{2}{3}=\frac{70}{105},\quad \frac{4}{5}=\frac{84}{105},\quad \frac{2}{7}=\frac{30}{105},
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\frac{2}{3}-\frac{4}{5}+\frac{2}{7}=\frac{70-84+30}{105}=\frac{16}{105}.
Portanto
I = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{105}=\frac{8}{105}.

Passo 7

Voltando à integral total, lembramos que ela vale 4\pi vezes I. Assim
\iiint_{W} z \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy\,dz = 4\pi \cdot I = 4\pi \cdot \frac{8}{105} = \frac{32\pi}{105}.

Resposta

\dfrac{32\pi}{105}

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