Exercício 75. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla da função identicamente 1 sobre a região
. Em outras palavras, é o volume de
.
Informações dadas:
-
. - A bola de raio
centrada na origem é descrita por . - Além disso, há restrições de sinais:
, , .
O que é pedido:
- Calcular
, isto é, o volume da interseção da bola de raio com a região onde é não-positivo, não-negativo e não-negativo.
Passo 2
Escolha do método: como a região é a parte de uma esfera (bola) cortada por planos coordenados, é muito natural usar coordenadas esféricas — ficam as contas bem simples e simétricas.
Lembrete rápido sobre coordenadas esféricas (explicação didática):
- Em coordenadas esféricas usamos três variáveis
definidas por
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo polar medido a partir do eixo
positivo (
), e
é o ângulo azimutal no plano
medido a partir do eixo
positivo (
).
- O elemento de volume em coordenadas esféricas é
Explicação rápida do jacobiano
: a pequena caixa(esférica) tem dimensão radial
, largura angular em
aproximadamente
e largura angular em
aproximadamente
. Multiplicando dá
.
Passo 3
Determinar os limites das variáveis esféricas a partir de
.
- A restrição
vira . Logo . - A restrição
significa que estamos na metade superior da bola, então (ângulo a partir do eixo positivo) varia de até . Ou seja, . - As restrições sobre
e restringem . No plano : -
significa semicírculo superior: . -
significa semicírculo à esquerda: .
A interseção dessas duas condições é o segundo quadrante, isto é
-
Assim os limites são
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas esféricas.
Como a integranda é
(queremos o volume), temos
Passo 5
Calcular a integral em
(integração radial).
Então a integral reduz-se a
Passo 6
Calcular as integrais em
e
e simplificar.
Primeiro em
:
Depois em
:
Multiplicando tudo:
Passo 7
Verificação por simetria (checape rápido): a esfera cheia de raio
tem volume
A região
é exatamente um dos oito octantes (escolhido pelos sinais de
); portanto seu volume é
do volume total:
o mesmo resultado obtido acima — então está consistente.