Exercício 75. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x \leq 0, y \geq\right. 0, z \geq 0\}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla da função identicamente 1 sobre a região W. Em outras palavras, é o volume de W.
Informações dadas:
  • W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4,\; x\leq 0,\; y\geq 0,\; z\geq 0\}.
  • A bola de raio 2 centrada na origem é descrita por x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4.
  • Além disso, há restrições de sinais: x\leq 0, y\geq 0, z\geq 0.
O que é pedido:
  • Calcular \displaystyle \iiint_{W} dx\,dy\,dz, isto é, o volume da interseção da bola de raio 2 com a região onde x é não-positivo, y não-negativo e z não-negativo.

Passo 2

Escolha do método: como a região é a parte de uma esfera (bola) cortada por planos coordenados, é muito natural usar coordenadas esféricas — ficam as contas bem simples e simétricas.
Lembrete rápido sobre coordenadas esféricas (explicação didática):
  • Em coordenadas esféricas usamos três variáveis \rho,\varphi,\theta definidas por
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
onde \rho\geq 0 é a distância ao origem, \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo ( 0\leq\varphi\leq\pi), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy medido a partir do eixo x positivo ( 0\leq\theta<2\pi).
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Explicação rápida do jacobiano \rho^{2}\sin\varphi: a pequena caixa(esférica) tem dimensão radial d\rho, largura angular em \varphi aproximadamente \rho\,d\varphi e largura angular em \theta aproximadamente \rho\sin\varphi\,d\theta. Multiplicando dá \rho\cdot(\rho\,d\varphi)\cdot(\rho\sin\varphi\,d\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites das variáveis esféricas a partir de W.
  • A restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4 vira \rho\leq 2. Logo \rho\in[0,2].
  • A restrição z\geq 0 significa que estamos na metade superior da bola, então \varphi (ângulo a partir do eixo z positivo) varia de 0 até \tfrac{\pi}{2}. Ou seja, \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}].
  • As restrições sobre x e y restringem \theta. No plano xy:
    • y\geq 0 significa semicírculo superior: \theta\in[0,\pi].
    • x\leq 0 significa semicírculo à esquerda: \theta\in[\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}].
      A interseção dessas duas condições é o segundo quadrante, isto é
    \theta\in\left[\tfrac{\pi}{2},\pi\right].
Assim os limites são
0\leq \rho\leq 2,\qquad 0\leq \varphi\leq \tfrac{\pi}{2},\qquad \tfrac{\pi}{2}\leq \theta\leq \pi.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas esféricas.
Como a integranda é 1 (queremos o volume), temos
\iiint_{W} dx\,dy\,dz = \int_{\theta=\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{\rho=0}^{2} \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em \rho (integração radial).
\int_{0}^{2}\rho^{2}\;d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3}.
Então a integral reduz-se a
\int_{\theta=\tfrac{\pi}{2}}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{8}{3}\sin\varphi\; d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Calcular as integrais em \varphi e \theta e simplificar.
Primeiro em \varphi:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin\varphi\;d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}= -\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)+\cos(0)=0+1=1.
Depois em \theta:
\int_{\tfrac{\pi}{2}}^{\pi} d\theta = \pi-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}.
Multiplicando tudo:
\frac{8}{3}\times 1 \times \frac{\pi}{2} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}.

Passo 7

Verificação por simetria (checape rápido): a esfera cheia de raio 2 tem volume
\frac{4}{3}\pi (2)^{3}=\frac{32\pi}{3}.
A região W é exatamente um dos oito octantes (escolhido pelos sinais de x,y,z); portanto seu volume é \tfrac{1}{8} do volume total:
\frac{1}{8}\cdot\frac{32\pi}{3}=\frac{4\pi}{3},
o mesmo resultado obtido acima — então está consistente.

Resposta

\dfrac{4\pi}{3}

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