Exercício 76. Calcule \iiint_{W} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, x \geq\right. 0, y \leq 0, z \leq 0\}.

Passo 1

O enunciado dá a região
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 \le x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 4,\; x\ge 0,\; y\le 0,\; z\le 0\}
e pede para calcular a integral de volume
\iiint_{W} dx\,dy\,dz,
ou seja, o volume da região W.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A restrição radial é 1 \le x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 4 (um casca esférica entre esferas de raio 1 e 2).
  • As restrições de sinais são x\ge 0, y\le 0, z\le 0; juntas definem um octante específico (um “pedaço” da casca).
  • O objetivo é achar o volume dessa porção da casca esférica.

Passo 2

Por que usar coordenadas esféricas?
Quando a região envolve condições do tipo x^{2}+y^{2}+z^{2}=\text{constante} (esferas, cascas esféricas) fica muito mais simples passar para coordenadas esféricas: a condição radial vira uma desigualdade simples em \rho. Além disso, as restrições sobre sinais de x,y,z tornam-se condições simples sobre os ângulos. Então escolhemos coordenadas esféricas para simplificar a integral.

Passo 3

Definição das coordenadas esféricas e o que cada variável significa:
  • Use \rho para a distância ao origem, \rho\ge 0.
  • Use \varphi para o ângulo polar (ang. medido a partir do eixo z positivo), com 0\le \varphi\le \pi.
  • Use \theta para o ângulo azimutal no plano xy, com convenção -\pi<\theta\le\pi (pode também usar 0 a 2\pi; aqui vou usar -\pi a \pi para facilitar).
    As transformações são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.

Passo 4

Fórmula do elemento de volume em coordenadas esféricas (Jacobiniano) e por que aparece:
O diferencial de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Intuição: um pequeno elemento esférico tem “espessura” d\rho, comprimento angular \rho\,d\varphi numa direção e \rho\sin\varphi\,d\theta na outra; multiplicando obtemos a área da face e multiplicando por d\rho obtemos o volume aproximado. O fator \rho^{2}\sin\varphi é o Jacobiano da mudança de variáveis.

Passo 5

Determinar os limites para \rho a partir de 1 \le x^{2}+y^{2}+z^{2} \le 4.
Como x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}, a desigualdade vira
1 \le \rho^{2} \le 4 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le \rho \le 2.

Passo 6

Determinar os limites para \varphi a partir de z\le 0.
Como z=\rho\cos\varphi e \rho>0, a condição z\le 0 equivale a \cos\varphi\le 0. No intervalo padrão 0\le\varphi\le\pi isso significa
\varphi\in\left[\tfrac{\pi}{2},\,\pi\right].
(ou seja, estamos na semicórnea inferior em relação ao plano xy.)

Passo 7

Determinar os limites para \theta a partir de x\ge 0 e y\le 0.
Em esféricas temos x=\rho\sin\varphi\cos\theta e y=\rho\sin\varphi\sin\theta. Como \rho\sin\varphi\ge 0 para \varphi\in[0,\pi], os sinais de x e y são dados por \cos\theta e \sin\theta. As condições são:
\cos\theta \ge 0 \quad(\text{para } x\ge 0),\qquad \sin\theta \le 0 \quad(\text{para } y\le 0).
Essas duas simultaneamente identificam o quarto quadrante do plano xy, isto é
\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\,0\right].
(é o intervalo de ângulos cujo cosseno é não-negativo e seno é não-positivo.)

Passo 8

Montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites encontrados.
A integral pedida é
\iiint_{W} dx\,dy\,dz = \int_{\theta=-\pi/2}^{0}\int_{\varphi=\pi/2}^{\pi}\int_{\rho=1}^{2} \rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 9

Separar a integral (os limites são independentes entre \rho, \varphi e \theta), e integrar em \rho primeiro.
A parte em \rho é
\int_{1}^{2}\rho^{2}\,d\rho = \left[\tfrac{1}{3}\rho^{3}\right]_{1}^{2} = \tfrac{1}{3}\bigl(2^{3}-1^{3}\bigr)=\tfrac{1}{3}(8-1)=\tfrac{7}{3}.

Passo 10

Integrar em \varphi e \theta.
A parte angular é
\int_{\theta=-\pi/2}^{0}\int_{\varphi=\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\; d\varphi\, d\theta = \left(\int_{-\pi/2}^{0} d\theta\right)\left(\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\; d\varphi\right).
Calcule cada uma:
\int_{-\pi/2}^{0} d\theta = 0 - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \tfrac{\pi}{2},
\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\; d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/2}^{\pi} = -\cos\pi - \bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = -(-1) - 0 = 1.
Portanto a parte angular vale \tfrac{\pi}{2}\cdot 1 = \tfrac{\pi}{2}.

Passo 11

Multiplicar as partes radial e angular para obter o volume total.
Radial \times angular:
\frac{7}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{6}.

Passo 12

Checagem conceptual rápida (opcional, para sua confiança): a casca completa (entre \rho=1 e \rho=2) tem volume
\text{Vol}_{\text{casca}}=\tfrac{4}{3}\pi(2^{3}-1^{3})=\tfrac{4}{3}\pi(7)=\tfrac{28\pi}{3}.
A região W é exatamente um oitavo dessa casca (pois os ângulos \varphi e \theta ocupam \tfrac{\pi}{2} cada um gerando uma medida sólida \tfrac{\pi}{2}, e \tfrac{\pi/2}{4\pi}=\tfrac{1}{8}). Então o volume é \tfrac{1}{8}\cdot \tfrac{28\pi}{3}=\tfrac{7\pi}{6}, que coincide com o cálculo detalhado acima. Ótimo sinal de consistência!

Resposta

\dfrac{7\pi}{6}

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