Exercício 76. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá a região
e pede para calcular a integral de volume
ou seja, o volume da região
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A restrição radial é
(um casca esférica entre esferas de raio e ). - As restrições de sinais são
, , ; juntas definem um octante específico (um “pedaço” da casca). - O objetivo é achar o volume dessa porção da casca esférica.
Passo 2
Por que usar coordenadas esféricas?
Quando a região envolve condições do tipo (esferas, cascas esféricas) fica muito mais simples passar para coordenadas esféricas: a condição radial vira uma desigualdade simples em
. Além disso, as restrições sobre sinais de
tornam-se condições simples sobre os ângulos. Então escolhemos coordenadas esféricas para simplificar a integral.
Quando a região envolve condições do tipo
Passo 3
Definição das coordenadas esféricas e o que cada variável significa:
- Use
para a distância ao origem, . - Use
para o ângulo polar (ang. medido a partir do eixo positivo), com . - Use
para o ângulo azimutal no plano , com convenção (pode também usar a ; aqui vou usar a para facilitar).
As transformações são
Passo 4
Fórmula do elemento de volume em coordenadas esféricas (Jacobiniano) e por que aparece:
O diferencial de volume é
O diferencial de volume é
Intuição: um pequeno elemento esférico tem “espessura”
, comprimento angular
numa direção e
na outra; multiplicando obtemos a área da face e multiplicando por
obtemos o volume aproximado. O fator
é o Jacobiano da mudança de variáveis.
Passo 5
Determinar os limites para
a partir de
.
Como
, a desigualdade vira
Passo 6
Determinar os limites para
a partir de
.
Como
e
, a condição
equivale a
. No intervalo padrão
isso significa
(ou seja, estamos na semicórnea inferior em relação ao plano
.)
Passo 7
Determinar os limites para
a partir de
e
.
Em esféricas temos
e
. Como
para
, os sinais de
e
são dados por
e
. As condições são:
Essas duas simultaneamente identificam o quarto quadrante do plano
, isto é
(é o intervalo de ângulos cujo cosseno é não-negativo e seno é não-positivo.)
Passo 8
Montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites encontrados.
A integral pedida é
Passo 9
Separar a integral (os limites são independentes entre
,
e
), e integrar em
primeiro.
A parte em
é
Passo 10
Integrar em
e
.
A parte angular é
Calcule cada uma:
Portanto a parte angular vale
.
Passo 11
Multiplicar as partes radial e angular para obter o volume total.
Radial
angular:
Passo 12
Checagem conceptual rápida (opcional, para sua confiança): a casca completa (entre
e
) tem volume
A região
é exatamente um oitavo dessa casca (pois os ângulos
e
ocupam
cada um gerando uma medida sólida
, e
). Então o volume é
, que coincide com o cálculo detalhado acima. Ótimo sinal de consistência!