Exercício 84. Calcule \iiint_{W}(x+2 z) d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq\right. 9, z \leq 0\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W}(x+2z)\,dx\,dy\,dz,
onde a região W está definida por
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 9,\\ z\leq 0\}.
Informações relevantes dadas:
  • A região W é a região entre duas esferas concêntricas de raios 1 e 3 (porque 1\le x^2+y^2+z^2\le 9), porém apenas a metade com z\le 0 (a semi‑casca esférica inferior, incluindo o plano z=0).
  • A função a integrar é x+2z.
    O que se pede: o valor numérico da integral tripla acima sobre a região W.

Passo 2

Separar a integral em duas parcelas e usar simetrias:
\iiint_{W}(x+2z)\,dV=\iiint_{W}x\,dV+2\iiint_{W}z\,dV.
Observe que a região W é simétrica em relação ao plano x=0 (a definição envolve apenas x^2, y^2, z^2 e a condição z\le 0 não depende do sinal de x). Para cada ponto (x,y,z)\in W também (-x,y,z)\in W. Como a função x é ímpar em relação à troca x\mapsto -x, os valores de x se cancelam por pares, logo
\iiint_{W}x\,dV=0.
Portanto
\iiint_{W}(x+2z)\,dV = 2\iiint_{W}z\,dV.
(Isto já simplifica bastante: só precisamos calcular \iiint_{W} z\,dV.)

Passo 3

Escolher coordenadas esféricas (porque W é definido por x^2+y^2+z^2 entre constantes).
Definições e interpretações (tudo explicado devagar):
  • Em coordenadas esféricas usamos \rho,\varphi,\theta com x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Aqui \rho\ge 0 é a distância à origem, \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo z (ou seja \varphi=0 aponta para +z), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Uma intuição rápida: \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta é a “pequena caixinha” cuja área de base é \rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta e espessura d\rho.
  • Limites para \rho,\varphi,\theta a partir da definição de W:
    • Porque 1\le x^2+y^2+z^2\le 9, tem-se \rho entre 1 e 3: \rho\in[1,3].
    • A condição z\le 0 corresponde a \rho\cos\varphi\le 0. Como \rho>0, isso dá \cos\varphi\le 0, ou seja \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] (meia‑esfera inferior).
    • O \theta percorre toda a volta: \theta\in[0,2\pi].
      Assim podemos escrever a integral de z em esféricas com limites explícitos.

Passo 4

Escrever \iiint_{W} z\,dV em coordenadas esféricas e montar a integral:
  • Substituir z=\rho\cos\varphi e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
    Logo o integrando fica
z\,dV = (\rho\cos\varphi)\cdot(\rho^{2}\sin\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Os limites são \rho\in[1,3], \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi], \theta\in[0,2\pi]. Portanto
\iiint_{W} z\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{\pi/2}^{\pi}\!\int_{1}^{3} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi \,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Separar as integrais por variáveis (produto de funções de uma variável só):
\iiint_{W} z\,dV = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) \left(\int_{\pi/2}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{1}^{3}\rho^{3}\,d\rho\right).
Calcular cada uma:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  2. Para \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi use substituição simples: ponha u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\,d\varphi. Assim
\int_{\pi/2}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{\sin(\pi/2)}^{\sin\pi} u\,du = \int_{1}^{0} u\,du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{1}^{0} = \frac{0^{2}-1^{2}}{2} = -\frac{1}{2}.
(Interpretando: sobre a meia‑esfera inferior a média de z é negativa, então esperamos um resultado negativo.)
  1. \displaystyle \int_{1}^{3}\rho^{3}\,d\rho = \left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{1}^{3} = \frac{3^{4}-1^{4}}{4}=\frac{81-1}{4}=\frac{80}{4}=20.
Multiplicando tudo:
\iiint_{W} z\,dV = (2\pi)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 20 = 2\pi\cdot(-10) = -20\pi.

Passo 6

Retornar à integral original, lembrando do fator 2:
\iiint_{W}(x+2z)\,dV = 2\iiint_{W} z\,dV = 2\cdot(-20\pi) = -40\pi.
Breve checagem mental: faz sentido ser negativo porque sobre W temos z\le 0 e o integrando tem o termo 2z dominante (o termo em x integrou zero por simetria), então o resultado final ser negativo é esperado.

Resposta

-40\pi

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