Exercício 84. Calcule \iiint_{W}(x+2 z) d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid 1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq\right. 9, z \leq 0\}.
A região W é a região entre duas esferas concêntricas de raios 1 e 3 (porque 1\le x^2+y^2+z^2\le 9), porém apenas a metade com z\le 0 (a semi‑casca esférica inferior, incluindo o plano z=0).
A função a integrar é x+2z.
O que se pede: o valor numérico da integral tripla acima sobre a região W.
Passo 2
Separar a integral em duas parcelas e usar simetrias:
Observe que a região W é simétrica em relação ao plano x=0 (a definição envolve apenas x^2, y^2, z^2 e a condição z\le 0 não depende do sinal de x). Para cada ponto (x,y,z)\in W também (-x,y,z)\in W. Como a função x é ímpar em relação à troca x\mapsto -x, os valores de x se cancelam por pares, logo
\iiint_{W}x\,dV=0.
Portanto
\iiint_{W}(x+2z)\,dV = 2\iiint_{W}z\,dV.
(Isto já simplifica bastante: só precisamos calcular \iiint_{W} z\,dV.)
Passo 3
Escolher coordenadas esféricas (porque W é definido por x^2+y^2+z^2 entre constantes).
Definições e interpretações (tudo explicado devagar):
Em coordenadas esféricas usamos \rho,\varphi,\theta comx=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Aqui \rho\ge 0 é a distância à origem, \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo z (ou seja \varphi=0 aponta para +z), e \theta é o ângulo azimutal no plano xy.
O elemento de volume em coordenadas esféricas édV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Uma intuição rápida: \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta é a “pequena caixinha” cuja área de base é \rho^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta e espessura d\rho.
Limites para \rho,\varphi,\theta a partir da definição de W:
Porque 1\le x^2+y^2+z^2\le 9, tem-se \rho entre 1 e 3: \rho\in[1,3].
A condição z\le 0 corresponde a \rho\cos\varphi\le 0. Como \rho>0, isso dá \cos\varphi\le 0, ou seja \varphi\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] (meia‑esfera inferior).
O \theta percorre toda a volta: \theta\in[0,2\pi].
Assim podemos escrever a integral de z em esféricas com limites explícitos.
Passo 4
Escrever \iiint_{W} z\,dV em coordenadas esféricas e montar a integral:
Substituir z=\rho\cos\varphi e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Logo o integrando fica
Para \displaystyle \int_{\pi/2}^{\pi} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi use substituição simples: ponha u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\,d\varphi. Assim
Breve checagem mental: faz sentido ser negativo porque sobre W temos z\le 0 e o integrando tem o termo 2z dominante (o termo em x integrou zero por simetria), então o resultado final ser negativo é esperado.