Exercício 83. Calcule \iiint_{W} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq\right. 1, z \leq 0\}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral tripla
\iiint_{W} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dx\,dy\,dz,
onde W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1,\; z\leq 0\}.
Informações relevantes que temos:
  • A região W é a metade inferior da esfera sólida de raio 1 (ou seja, a bola de raio 1 cortada pelo plano z=0, contendo os pontos com z\leq 0).
  • O integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}, ou seja, depende apenas da distância ao ponto origem.
  • Não há singularidade dentro da região (pois 1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 1>0).
O que o exercício pede: calcular exatamente o valor numérico da integral tripla sobre essa metade da bola.

Passo 2

Escolha do método e justificativa rápida (sem desenvolver ainda): como o integrando é radial (depende somente de x^{2}+y^{2}+z^{2}) e a região é uma porção esférica (metade de uma bola), a escolha natural e mais simples é usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas padrão:
  • \rho é a distância ao origem, com \rho\ge 0.
  • \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, com 0\le \varphi\le \pi.
  • \theta é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le \theta<2\pi.
A transformação e o fator de escala (Jacobiano) valem:
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 3

Determinar os limites de integração em coordenadas esféricas para W:
  • Como estamos na bola de raio 1, \rho varia de 0 a 1.
  • A condição z\le 0 significa \rho\cos\varphi \le 0. Para \rho>0 isso equivale a \cos\varphi\le 0, logo \varphi vai de \pi/2 a \pi.
  • O ângulo azimutal \theta percorre toda a volta: 0\le \theta\le 2\pi.
Substituindo o integrando \dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\dfrac{1}{1+\rho^{2}} e o Jacobiano, a integral fica
\iiint_{W}\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\,dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=\pi/2}^{\pi}\!\int_{\rho=0}^{1} \frac{1}{1+\rho^{2}}\;\rho^{2}\sin\varphi\; d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Separar as integrais (produto de fatores que dependem de variáveis distintas). A integral pode ser escrita como
\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right) \left(\int_{\pi/2}^{\pi} \sin\varphi\, d\varphi\right) \left(\int_{0}^{1}\frac{\rho^{2}}{1+\rho^{2}}\, d\rho\right).
Calcular as integrais angulares:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
e
\int_{\pi/2}^{\pi} \sin\varphi\, d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{\pi/2}^{\pi} = -\cos\pi -\bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = -(-1) - ( -0 ) = 1.
Portanto o fator angular total é 2\pi\cdot 1 = 2\pi.

Passo 5

Calcular a integral radial
\int_{0}^{1}\frac{\rho^{2}}{1+\rho^{2}}\, d\rho.
Fazer uma simplificação algébrica conveniente:
\frac{\rho^{2}}{1+\rho^{2}} = 1 - \frac{1}{1+\rho^{2}},
pois \dfrac{\rho^{2}}{1+\rho^{2}}=\dfrac{1+\rho^{2}-1}{1+\rho^{2}}=1-\dfrac{1}{1+\rho^{2}}.
Assim
\int_{0}^{1}\frac{\rho^{2}}{1+\rho^{2}}\, d\rho = \int_{0}^{1} 1\, d\rho - \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\rho^{2}}\, d\rho.
Avaliar cada termo:
\int_{0}^{1} 1\, d\rho = 1, \qquad \int_{0}^{1} \frac{1}{1+\rho^{2}}\, d\rho = \bigl[\arctan\rho\bigr]_{0}^{1} = \arctan(1)-\arctan(0)=\tfrac{\pi}{4}.
Logo o integral radial vale 1-\tfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Combinar o fator angular com o radial: o valor da integral tripla é o produto do fator angular 2\pi pelo integral radial 1-\tfrac{\pi}{4}. Não simplificar aqui — a simplificação final será posta na seção de resposta.

Resposta

2\pi\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)=2\pi-\dfrac{\pi^{2}}{2}

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