Exercício 83. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral tripla
onde
.
Informações relevantes que temos:
- A região
é a metade inferior da esfera sólida de raio (ou seja, a bola de raio cortada pelo plano , contendo os pontos com ). - O integrando depende apenas de
, ou seja, depende apenas da distância ao ponto origem. - Não há singularidade dentro da região (pois
).
O que o exercício pede: calcular exatamente o valor numérico da integral tripla sobre essa metade da bola.
Passo 2
Escolha do método e justificativa rápida (sem desenvolver ainda): como o integrando é radial (depende somente de
) e a região é uma porção esférica (metade de uma bola), a escolha natural e mais simples é usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas padrão:
-
é a distância ao origem, com . -
é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo, com . -
é o ângulo azimutal no plano , com .
A transformação e o fator de escala (Jacobiano) valem:
e o elemento de volume é
Passo 3
Determinar os limites de integração em coordenadas esféricas para
:
- Como estamos na bola de raio
, varia de a . - A condição
significa . Para isso equivale a , logo vai de a . - O ângulo azimutal
percorre toda a volta: .
Substituindo o integrando
e o Jacobiano, a integral fica
Passo 4
Separar as integrais (produto de fatores que dependem de variáveis distintas). A integral pode ser escrita como
Calcular as integrais angulares:
e
Portanto o fator angular total é
.
Passo 5
Calcular a integral radial
Fazer uma simplificação algébrica conveniente:
pois
.
Assim
Avaliar cada termo:
Logo o integral radial vale
.
Passo 6
Combinar o fator angular com o radial: o valor da integral tripla é o produto do fator angular
pelo integral radial
. Não simplificar aqui — a simplificação final será posta na seção de resposta.