Exercício 85. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o conjunto
Informações relevantes dadas:
-
é a interseção de duas bolas de raio : uma centrada em e outra em . - As duas esferas têm centros separados por distância
, logo a interseção é um “lente esférica” simétrica.
O objetivo é calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Observação de simetria (argumento que simplifica muito o problema).
Considere a reflexão em relação ao plano ; isto é, o mapa
Considere a reflexão em relação ao plano
Para um ponto qualquer
definimos as distâncias aos dois centros:
Ao refletir temos para o ponto refletido
:
e análogamente a distância ao centro
troca com
. Portanto a reflexão troca os papéis das duas bolas, e como
é a interseção das duas bolas, a reflexão envia
em si mesma. Logo
é simétrico em relação ao plano
.
Dessa simetria decorre que a coordenada
média (o centroide na direção
) de
é
. Assim
Portanto bastará calcular o volume
da lente e multiplicar por
.
Passo 3
Cálculo do volume por seções (método das fatias horizontais).
Para cada valor fixo de a secção
é um disco no plano
constante, cujo raio
satisfaz
Para cada valor fixo de
ou seja
As duas esferas existem (têm seção não vazia) para
e
, respectivamente; a interseção dos intervalos é
. Note que as duas expressões se igualam quando
ou seja, o ponto de mudança do mínimo é
. Para
verifica-se que
é o menor termo; para
o menor é
.
Logo, para as fatias:
- Se
então
- Se
então
A área da seção é
. Assim o volume é
Passo 4
Cálculo explícito das integrais (mostrando cada etapa).
Calcule a primeira integral:
Calcule a primeira integral:
Avalie em
:
portanto
Calcule a segunda integral:
Avalie nos extremos:
em obtemos
;
em obtemos
.
Subtraindo:
em
em
Subtraindo:
Somando as duas partes:
Multiplicando por
obtemos o volume:
Passo 5
Conclusão final usando a média em
.
Da Passo 2 temos
Da Passo 2 temos
Substituindo
obtemos