Exercício 85. Calcule \iiint_{W} z d x d y d z, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, x^{2}+y^{2}+\right. \left.(z-1)^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} z\,dx\,dy\,dz,
onde W é o conjunto
W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\; x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}\le 1\}.
Informações relevantes dadas:
  • W é a interseção de duas bolas de raio 1: uma centrada em (0,0,0) e outra em (0,0,1).
  • As duas esferas têm centros separados por distância 1, logo a interseção é um “lente esférica” simétrica.
    O objetivo é calcular o valor numérico da integral \iiint_{W} z\,dV.

Passo 2

Observação de simetria (argumento que simplifica muito o problema).
Considere a reflexão em relação ao plano \,z=\tfrac{1}{2}\,; isto é, o mapa
(x,y,z)\mapsto (x,y,1-z).
Para um ponto qualquer (x,y,z) definimos as distâncias aos dois centros:
d_1^2=x^2+y^2+z^2,\qquad d_2^2=x^2+y^2+(z-1)^2.
Ao refletir temos para o ponto refletido (x,y,1-z):
\text{distância ao centro }(0,0,1)\;=\;x^2+y^2+(1-z-1)^2=x^2+y^2+z^2=d_1^2,â
e análogamente a distância ao centro (0,0,0) troca com d_2^2. Portanto a reflexão troca os papéis das duas bolas, e como W é a interseção das duas bolas, a reflexão envia W em si mesma. Logo W é simétrico em relação ao plano \,z=\tfrac{1}{2}.
Dessa simetria decorre que a coordenada z média (o centroide na direção z) de W é \tfrac{1}{2}. Assim
\iiint_{W} z\,dV = \left(\tfrac{1}{2}\right)\operatorname{Vol}(W).
Portanto bastará calcular o volume \operatorname{Vol}(W) da lente e multiplicar por \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Cálculo do volume por seções (método das fatias horizontais).
Para cada valor fixo de z a secção W\cap\{z=\text{const}\} é um disco no plano z= constante, cujo raio r(z) satisfaz
r(z)^2 \le 1-z^2 \quad\text{e}\quad r(z)^2 \le 1-(z-1)^2,
ou seja
r(z)^2 \le \min\bigl(1-z^2,\;1-(z-1)^2\bigr).
As duas esferas existem (têm seção não vazia) para z\in[-1,1] e z\in[0,2], respectivamente; a interseção dos intervalos é z\in[0,1]. Note que as duas expressões se igualam quando
1-z^2 = 1-(z-1)^2 \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{1}{2},
ou seja, o ponto de mudança do mínimo é z=\tfrac{1}{2}. Para 0\le z\le\tfrac{1}{2} verifica-se que 1-(z-1)^2 é o menor termo; para \tfrac{1}{2}\le z\le1 o menor é 1-z^2.
Logo, para as fatias:
  • Se 0\le z\le \tfrac{1}{2} então
r(z)^2 = 1-(z-1)^2 = 2z - z^2.
  • Se \tfrac{1}{2}\le z\le 1 então
r(z)^2 = 1-z^2.
A área da seção é A(z)=\pi r(z)^2. Assim o volume é
\operatorname{Vol}(W)=\int_{0}^{1} A(z)\,dz = \pi\left(\int_{0}^{1/2} (2z - z^2)\,dz + \int_{1/2}^{1} (1 - z^2)\,dz\right).

Passo 4

Cálculo explícito das integrais (mostrando cada etapa).
Calcule a primeira integral:
\int_{0}^{1/2} (2z - z^2)\,dz = \Bigl[z^{2}-\tfrac{1}{3}z^{3}\Bigr]_{0}^{1/2}.
Avalie em z=\tfrac{1}{2}:
z^{2}=\tfrac{1}{4},\qquad \tfrac{1}{3}z^{3}=\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{24},
portanto
\int_{0}^{1/2} (2z - z^2)\,dz = \tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{24}=\tfrac{6-1}{24}=\tfrac{5}{24}.
Calcule a segunda integral:
\int_{1/2}^{1} (1 - z^2)\,dz = \Bigl[z-\tfrac{1}{3}z^{3}\Bigr]_{1/2}^{1}.
Avalie nos extremos:
em z=1 obtemos 1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3};
em z=\tfrac{1}{2} obtemos \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{24}=\tfrac{12-1}{24}=\tfrac{11}{24}.
Subtraindo:
\int_{1/2}^{1} (1 - z^2)\,dz = \tfrac{2}{3}-\tfrac{11}{24} = \tfrac{16-11}{24}=\tfrac{5}{24}.
Somando as duas partes:
\int_{0}^{1/2} (2z - z^2)\,dz + \int_{1/2}^{1} (1 - z^2)\,dz = \tfrac{5}{24}+\tfrac{5}{24}=\tfrac{10}{24}=\tfrac{5}{12}.
Multiplicando por \pi obtemos o volume:
\operatorname{Vol}(W)=\pi\cdot \tfrac{5}{12}=\tfrac{5\pi}{12}.

Passo 5

Conclusão final usando a média em z.
Da Passo 2 temos
\iiint_{W} z\,dV = \left(\tfrac{1}{2}\right)\operatorname{Vol}(W).
Substituindo \operatorname{Vol}(W)=\tfrac{5\pi}{12} obtemos
\iiint_{W} z\,dV = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{5\pi}{12} = \tfrac{5\pi}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{5\pi}{24}

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