Exercício 94. Calcule \int_{C} x d s, onde C é parametrizada por \alpha:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \alpha(t)=(t, t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha escalar \int_{C} x\,ds, onde a curva C é dada pela parametrização \alpha:[0,2]\to\mathbb{R}^2 com
\alpha(t)=(t,t),\qquad t\in[0,2].
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=x (ou seja, “pegar a coordenada x em cada ponto”).
  • A curva é a reta que vai de (0,0) a (2,2), parametrizada por t\mapsto(t,t).
  • O parâmetro t varia em [0,2].

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática para integrar uma função escalar f(x,y) ao longo de uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b]:
\int_{C} f(x,y)\,ds = \int_{a}^{b} f\big(x(t),y(t)\big)\,\big|\alpha'(t)\big|\,dt.
Explicando: aqui ds é o elemento de comprimento de arco; quando parametrizamos pela variável t, ds se transforma em \big|\alpha'(t)\big|\,dt, onde \big|\alpha'(t)\big| é a velocidade (módulo da derivada do vetor posição). Isso faz sentido porque pequenos incrementos de parâmetro dt correspondem a pequenos comprimentos de arco ds\approx\text{velocidade}\times dt.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, temos x(t)=t e y(t)=t. Primeiro calculamos a derivada vetorial \alpha'(t):
\alpha'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,1).
Agora o módulo (a velocidade):
\big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Note que esse módulo é constante ao longo da curva porque a parametrização é uniforme (a reta com velocidade constante).

Passo 4

Substituímos f(x,y)=x, x(t)=t e \big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{2} na fórmula da integral:
\int_{C} x\,ds = \int_{0}^{2} t\cdot\sqrt{2}\,dt.
Aqui expliquei cada termo: t vem de x(t) e \sqrt{2} vem de ds=\big|\alpha'(t)\big|\,dt.

Passo 5

Agora calculamos a integral em t. Como \sqrt{2} é constante, fatoramos:
\int_{0}^{2} t\sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{2} t\,dt.
A primitiva de t é t^{2}/2, logo
\sqrt{2}\int_{0}^{2} t\,dt = \sqrt{2}\left[\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \sqrt{2}\cdot\frac{2^{2}}{2} = \sqrt{2}\cdot\frac{4}{2} = \sqrt{2}\cdot 2.

Passo 6

Portanto o valor da integral é 2\sqrt{2}. Interpretação rápida: integrando a coordenada x ao longo da reta de (0,0) a (2,2), e somando cada contribuição ponderada pelo comprimento de arco, obtemos 2\sqrt{2}. Boa! Isso dá um número positivo porque x é positivo ao longo da maior parte do trecho (exceto em 0) e o comprimento é positivo.

Resposta

2\sqrt{2}

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