Explicando: aqui ds é o elemento de comprimento de arco; quando parametrizamos pela variável t, ds se transforma em \big|\alpha'(t)\big|\,dt, onde \big|\alpha'(t)\big| é a velocidade (módulo da derivada do vetor posição). Isso faz sentido porque pequenos incrementos de parâmetro dt correspondem a pequenos comprimentos de arco ds\approx\text{velocidade}\times dt.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, temos x(t)=t e y(t)=t. Primeiro calculamos a derivada vetorial \alpha'(t):
\alpha'(t)=(x'(t),y'(t))=(1,1).
Agora o módulo (a velocidade):
\big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Note que esse módulo é constante ao longo da curva porque a parametrização é uniforme (a reta com velocidade constante).
Passo 4
Substituímos f(x,y)=x, x(t)=t e \big|\alpha'(t)\big|=\sqrt{2} na fórmula da integral:
\int_{C} x\,ds = \int_{0}^{2} t\cdot\sqrt{2}\,dt.
Aqui expliquei cada termo: t vem de x(t) e \sqrt{2} vem de ds=\big|\alpha'(t)\big|\,dt.
Passo 5
Agora calculamos a integral em t. Como \sqrt{2} é constante, fatoramos:
Portanto o valor da integral é 2\sqrt{2}. Interpretação rápida: integrando a coordenada x ao longo da reta de (0,0) a (2,2), e somando cada contribuição ponderada pelo comprimento de arco, obtemos 2\sqrt{2}. Boa! Isso dá um número positivo porque x é positivo ao longo da maior parte do trecho (exceto em 0) e o comprimento é positivo.