Para o exercício abaixo, justifique sua resposta.
Qual dos conjuntos
a seguir é um ideal de
?
a)
b)
c)
d)
e)
Qual dos conjuntos
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual dos conjuntos
é um ideal de
. Vamos usar a definição de ideal em anel comutativo e a classificação de ideais em
.
Passo 2
Definição e classificação: num anel comutativo
, um ideal
é um subgrupo aditivo de
tal que
para todo
e
. Em particular, em
todos os ideais são da forma
para algum inteiro
.
Passo 3
Qualquer ideal de
deve conter
. Se um conjunto não contém
, ele falha já em ser subgrupo aditivo de
, e portanto não pode ser ideal.
Passo 4
Analisando (a), (b) e (c):
– Em (a) temos todos os inteiros congruentes a , ou seja
. Note que
, logo não é subgrupo aditivo.
– O mesmo ocorre em (b): não contém
.
– Em (c): também não contém
.
Portanto (a), (b) e (c) não são ideais.
– Em (a) temos todos os inteiros congruentes a
– O mesmo ocorre em (b):
– Em (c):
Portanto (a), (b) e (c) não são ideais.
Passo 5
No caso (e),
é famoso por conter elementos não inteiros (por exemplo,
), logo
nem sequer é subconjunto de
e não pode ser ideal em
.
Passo 6
Resta (d):
Este é exatamente o ideal principal gerado por
. Verificações:
-
. - Se
e então , fechando sob subtração. - Se
e , então .
Logosatisfaz todas as condições de ideal.
Resposta
d)
é o único ideal dentre as opções.