Para o exercício abaixo, justifique sua resposta.
Qual dos conjuntos I a seguir é um ideal de \mathbb{Z} ?
a) I=\{-4 m+1 \mid m \in \mathbb{Z}\}
b) I=\{4 m+1 \mid m \in \mathbb{Z}\}
c) I=\{4 m+3 \mid m \in \mathbb{Z}\}
d) I=\{-4 m \mid m \in \mathbb{Z}\}
e) I=\{4 m \mid m \in \mathbb{Q}\}

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual dos conjuntos
\text{(a) }I=\{-4m+1\mid m\in\mathbb{Z}\},\quad \text{(b) }I=\{4m+1\mid m\in\mathbb{Z}\},\quad \text{\text{(c)} }I=\{4m+3\mid m\in\mathbb{Z}\},
\text{(d) }I=\{-4m\mid m\in\mathbb{Z}\},\quad \text{(e) }I=\{4m\mid m\in\mathbb{Q}\}
é um ideal de \mathbb{Z}. Vamos usar a definição de ideal em anel comutativo e a classificação de ideais em \mathbb{Z}.

Passo 2

Definição e classificação: num anel comutativo R, um ideal I\subseteq R é um subgrupo aditivo de R tal que r\,a\in I para todo r\in R e a\in I. Em particular, em \mathbb{Z} todos os ideais são da forma
n\mathbb{Z}=\{n\,k\mid k\in\mathbb{Z}\}
para algum inteiro n\ge0.

Passo 3

Qualquer ideal de \mathbb{Z} deve conter 0. Se um conjunto não contém 0, ele falha já em ser subgrupo aditivo de \mathbb{Z}, e portanto não pode ser ideal.

Passo 4

Analisando (a), (b) e (c):
– Em (a) temos todos os inteiros congruentes a 1\pmod4, ou seja \{\dots,-7,-3,1,5,9,\dots\}. Note que 0\notin I, logo não é subgrupo aditivo.
– O mesmo ocorre em (b): \{\,4m+1\mid m\in\mathbb{Z}\} não contém 0.
– Em (c): \{\,4m+3\mid m\in\mathbb{Z}\} também não contém 0.
Portanto (a), (b) e (c) não são ideais.

Passo 5

No caso (e),
I=\{4m\mid m\in\mathbb{Q}\}
é famoso por conter elementos não inteiros (por exemplo, 4\cdot\frac13=\tfrac43\notin\mathbb{Z}), logo I nem sequer é subconjunto de \mathbb{Z} e não pode ser ideal em \mathbb{Z}.

Passo 6

Resta (d):
I=\{-4m\mid m\in\mathbb{Z}\}=\{4k\mid k\in\mathbb{Z}\}=4\mathbb{Z}.
Este é exatamente o ideal principal gerado por 4. Verificações:
  1. 0=4\cdot0\in4\mathbb{Z}.
  2. Se a=4k e b=4\ell então a-b=4(k-\ell)\in4\mathbb{Z}, fechando sob subtração.
  3. Se r\in\mathbb{Z} e a=4k\in4\mathbb{Z}, então r\,a=4(rk)\in4\mathbb{Z}.
    Logo 4\mathbb{Z} satisfaz todas as condições de ideal.

Resposta

d) I=\{-4m\mid m\in\mathbb{Z}\} é o único ideal dentre as opções.

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