Verifique se (I,+, \cdot) é um ideal do anel ( A,+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
I=\{f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \mid f(1)+f(2)=0\}, A=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}

Passo 1

Resumo do enunciado e teoria necessária
Temos o anel A=\mathbb{R}^{\mathbb{R}} (funções reais com soma e produto ponto a ponto) e o subconjunto
I=\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(1)+f(2)=0\}.
Para ser ideal, I precisa ser (i) subgrupo aditivo de A e (ii) absorver produto por elementos de A:
para todo f\in I e todo h\in A, deve valer h\cdot f\in I.

Passo 2

Verificação de subgrupo aditivo
  1. (Fechamento em soma) Se f,g\in I, então
(f+g)(1)+(f+g)(2)=\bigl(f(1)+g(1)\bigr)+\bigl(f(2)+g(2)\bigr) =(f(1)+f(2))+(g(1)+g(2))=0+0=0,
logo f+g\in I.
2. (Inverso aditivo) Se f\in I, então
(-f)(1)+(-f)(2)=-(f(1)+f(2))= -0=0,
logo -f\in I.
3. O elemento zero 0_A satisfaz 0_A(1)+0_A(2)=0, logo 0_A\in I.
Portanto, I é subgrupo aditivo de A.

Passo 3

Falha na condição de absorção
Tomemos um f\in I\) com, digamos, \(f(1)=1\) e \(f(2)=-1\). Então \(f(1)+f(2)=0\). Seja agora \[h(x)= \begin{cases} 1, & x=1,\\\\ 0, & x=2,\\\ \text{qualquer}, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Então
(h\cdot f)(1)=h(1)\,f(1)=1\cdot1=1, \quad (h\cdot f)(2)=h(2)\,f(2)=0\cdot(-1)=0,
logo
(h\cdot f)(1)+(h\cdot f)(2)=1+0=1\neq0.
Isso mostra que (h\cdot f\notin I], violando a absorção.

Resposta

I não é ideal de A.

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