Verifique se
é um ideal do anel (
) em cada um dos seguintes casos:
Passo 1
O enunciado define o anel
cujo elemento geral é uma função
, com adição e multiplicação pontuais, e o subconjunto
Queremos ver se
é um ideal de
. Lembrando que, num anel comutativo, basta checar que
é subgrupo aditivo e que para todo
e
vale
.
Passo 2
Primeiro mostramos que
é subgrupo do grupo aditivo
.
- Elemento neutro: a função zero
pertence a porque e . - Fechamento em soma: se
então
logo
.
3. Inverso aditivo: se então
e
, logo
.
3. Inverso aditivo: se
Portanto
é subgrupo aditivo de
.
Passo 3
Agora verificamos a absorção pela multiplicação do anel. Seja
qualquer e
. Definimos o produto ponto a ponto:
Em particular,
Logo
. Como o anel é comutativo, isso cobre também
.