Verifique se (I,+, \cdot) é um ideal do anel ( A,+, \cdot ) em cada um dos seguintes casos:
I=\{f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \mid f(3)=f(4)=0\}, A=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}

Passo 1

O enunciado define o anel
A = \mathbb{R}^{\mathbb{R}}
cujo elemento geral é uma função h\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, com adição e multiplicação pontuais, e o subconjunto
I = \{\,f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f(3)=0 \text{ e } f(4)=0\}.
Queremos ver se I é um ideal de A. Lembrando que, num anel comutativo, basta checar que I é subgrupo aditivo e que para todo h\in A e f\in I vale h\cdot f\in I.

Passo 2

Primeiro mostramos que I é subgrupo do grupo aditivo (A,+).
  1. Elemento neutro: a função zero 0(x)\equiv 0 pertence a I porque 0(3)=0 e 0(4)=0.
  2. Fechamento em soma: se f,g\in I então
(f+g)(3)=f(3)+g(3)=0+0=0,
(f+g)(4)=f(4)+g(4)=0+0=0,
logo f+g\in I.
3. Inverso aditivo: se f\in I então (-f)(3)=-f(3)=0 e (-f)(4)=-f(4)=0, logo -f\in I.
Portanto I é subgrupo aditivo de A.

Passo 3

Agora verificamos a absorção pela multiplicação do anel. Seja h\in A qualquer e f\in I. Definimos o produto ponto a ponto:
(h\cdot f)(x)=h(x)\,f(x).
Em particular,
(h\cdot f)(3)=h(3)\,f(3)=h(3)\cdot 0=0,
(h\cdot f)(4)=h(4)\,f(4)=h(4)\cdot 0=0.
Logo h\cdot f\in I. Como o anel é comutativo, isso cobre também f\cdot h.

Resposta

I é um ideal de A=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}.

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