Usando o fato das componentes de velocidade serem obtidas de um potencial, isto é, se V_{x} e V_{y} denotam as componentes da velocidade do fluido em ( x, y ) nas direções x e y respectivamente, existe uma função \Phi, chamada potencial de velocidade, tal que
V_{x}=\frac{\partial \Phi}{\partial x} \text { e } V_{y}=\frac{\partial \Phi}{\partial y} .
E a definição de potencial complexo \Omega (z) equacionada por
\Omega(z)=\Phi(x, y)+i \Psi(x, y),
que é uma funçao analítica no domínio de estudo. O potencial de velocidade \Phi e a função de corrente \Psi são as partes real e imaginaria do potencial complexo. Para provar que a velocidade (às vezes chamada de velocidade complexa) é dada por
\nu=\overline{\left(\frac{d \Omega}{d z}\right)}=V_{x}+i V_{y}
A questão toda vale 1,5 pontos.

Passo 1

O enunciado define o potencial complexo
\Omega(z)=\Phi(x,y)+i\Psi(x,y)
como função analítica em um domínio do plano z=x+iy. As componentes da velocidade do fluido são
V_x=\frac{\partial \Phi}{\partial x}, \quad V_y=\frac{\partial \Phi}{\partial y}.
Queremos mostrar que a velocidade complexa
\nu=V_x+iV_y
pode ser escrita como
\nu=\overline{\Bigl(\frac{d\Omega}{dz}\Bigr)}.

Passo 2

Como \Omega é analítica, \Phi e \Psi satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial \Psi}{\partial y}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y} = -\,\frac{\partial \Psi}{\partial x}.

Passo 3

Para uma função analítica basta usar a derivada complexa usual, que coincide com a derivada parcial em x:
\frac{d\Omega}{dz} =\frac{\partial \Omega}{\partial x} =\frac{\partial \Phi}{\partial x} + i\,\frac{\partial \Psi}{\partial x}.

Passo 4

Usando a segunda equação de Cauchy–Riemann \Psi_x=-\Phi_y e lembrando que \Phi_x=V_x, \Phi_y=V_y, obtemos
\frac{d\Omega}{dz} =V_x + i\bigl(-V_y\bigr) =V_x - iV_y.

Passo 5

Tomando o conjugado complexo, vem
\overline{\Bigl(\frac{d\Omega}{dz}\Bigr)} =\overline{V_x - iV_y} =V_x + iV_y =\nu,
que é exatamente a velocidade complexa desejada.

Resposta

\nu=V_x+iV_y=\overline{\Bigl(\frac{d\Omega}{dz}\Bigr)}.

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